高三数学试卷(理科)及答案

高三数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若复数21aii为纯虚数（其中i是虚数单位），则实数a的值为()A．2B．1C．1D．22．（5分）设集合(1A，0，1，2}，1{|1}Bxx，则AB的真子集个数为()A．1B．3C．5D．73．（5分）若平面向量a，b满足(2)abb，则下列各式恒成立的是()A．||||abaB．||||abbC．||||abaD．||||abb4．（5分）已知平面，直线m，n满足m，n，则“//mn”是“//m”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为()（参考数据：31.732，sin150.2588，sin7.50.1305)A．12B．24C．36D．486．（5分）若20xy„，则22xy的最小值是()A．1B．2C．2D．47．（5分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且22cosbcBa，则A的大小为()A．30B．60C．120D．1508．（5分）若函数()121xafx的图象关于原点对称，则实数a等于()A．2B．1C．1D．29．（5分）在(3)(1)(*)nxxnN的展开式中，已知各项系数之和为64，则3x的系数是()A．10B．20C．30D．4010．（5分）如图是函数()sin()fxx（其中0，0)的部分图象，则5()6f的值为()A．2B．22C．22D．1211．（5分）若双曲线22221(0,0)xyabab上存在点P与右焦点F关于其渐近线对称，则该双曲线的离心率为()A．2B．3C．2D．512．（5分）在体育选修课排球模块基本功（发球）测试中，计分规则如下（满分为10分）：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加0.5分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加1.5分，以此类推，，连续七次发球成功加3分．假设某同学每次发球成功的概率为23，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是()A．6523B．5523C．6623D．5623二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。13．（5分）如图，EFGH是圆O的内接正方形，将一颗豆子随机扔到圆O内，记事件A：“豆子落在正方形EFGH内”，事件B：“豆子落在扇形OEH（阴影部分）内”，则条件概率(|)PBA．14．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为15．（5分）23tan12(2cos121)sin12．16．（5分）有如下结论：若无穷等比数列{}na的公比q满足0||1q，则它的各项和11231aSaaaq．已知函数2|2|,02()12(),232xxxfxxfx剟，则()yfx的图象与x轴围成的所有图形的面积之和为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列{}na满足11a，且112nnaan，其中*nN．（Ⅰ）求{}na的通项公式；（Ⅱ）求证：12311111211nnaaaan．18．（12分）如图，在三棱柱111ABCABC中，CACB，1ABAA，160AAB．（Ⅰ）求证：1ABAC；（Ⅱ）若平面ABC平面11AABB，且直线1AC与平面ABC所成角为60，求二面角11CABB的余弦值．19．（12分）大型中华传统文化电视节目《CCTV中国诗词大会》以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨，深受广大观众喜爱，各基层单位也通过各种形式积极组织、选拔和推荐参赛选手．某单位制定规则如下：（1）凡报名参赛的诗词爱好者必须先后通过笔试和面试，方可获得入围CCTV正赛的推荐资格；（2）笔试成绩不低于85分的选手进入面试，面试成绩最高的3人获得推荐资格．在该单位最近组织的一次选拔活动中，随机抽取了一个笔试成绩的样本，据此绘制成频率分布直方图（如图1)．同时，也绘制了所有面试成绩的茎叶图（如图2，单位：分）．（Ⅰ）估计该单位本次报名参赛的诗词爱好者的总人数；（Ⅱ）若从面试成绩高于（不含）中位数的选手中随机选取3人，设其中获得推荐资格的人数为，求随机变量的分布列及数学期望E．20．（12分）设动圆P经过点(1,0)F，且与圆22:270(GxyxG为圆心）相切．（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹E；（Ⅱ）设经过F的直线与轨迹E交于A、B两点，且满足GHGAGB的点H也在轨迹E上，求四边形GAHB的面积．21．（12分）已知函数()alnxfxx，其中a为常数，2.71828e为自然对数的底数．（Ⅰ）若()fx在区间[1，]e上的最小值为1，求a之值；(Ⅱ]若“00x，使00()1xfxe”为假命题，求a的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1cossinxtyt（其中t为参数，且0)，在以O为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系取相同的单位长度）中，曲线C的极坐标方程为22tancos，设直线l经过定点P，且与曲线C交于A、B两点．（Ⅰ）求点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求证：不论a为何值时，2211||||PAPB为定值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2||1|5xx„的解集为M．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）设m为M中的最大元素，正数a，b满足abm，求21ab的最大值．高三数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若复数21aii为纯虚数（其中i是虚数单位），则实数a的值为()A．2B．1C．1D．2【考点】5A：复数的运算【专题】38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．【解答】解：2(2)(1)221(1)(1)22aiaiiaaiiii为纯虚数，2020aa，即2a．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．（5分）设集合(1A，0，1，2}，1{|1}Bxx，则AB的真子集个数为()A．1B．3C．5D．7【考点】16：子集与真子集；1E：交集及其运算【专题】11：计算题；5J：集合【分析】先将11x变形为10xx，再求解集，然后由n元集合真子集个数为21n即可．【解答】解：由11x得，110x，10xx，1x或0x，{|1BBxx或0x，又(1A，0，1，2}，1,2AB，则AB的真子集个数2213，故选：B．【点评】本小题考查了方式不等式的解法，集合的子集个数3．（5分）若平面向量a，b满足(2)abb，则下列各式恒成立的是()A．||||abaB．||||abbC．||||abaD．||||abb【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用【分析】先由(2)abb得出(2)0abb，再将等式两边同时加2a运算即可【解答】解：(2)abb(2)0abb即22abb2222ababa即22()aba||||aba故选：C．【点评】本题考查了向量数量积的性质和运算，并考查了向量垂直的充要条件4．（5分）已知平面，直线m，n满足m，n，则“//mn”是“//m”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件【专题】38：对应思想；4O：定义法；5L：简易逻辑【分析】根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：m，n，当//mn时，//m成立，即充分性成立，当//m时，//mn不一定成立，即必要性不成立，则“//mn”是“//m”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面平行的定义和性质是解决本题的关键，是基础题．5．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为()（参考数据：31.732，sin150.2588，sin7.50.1305)A．12B．24C．36D．48【考点】EF：程序框图【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：6n，333sin602S，不满足条件3.10S…，12n，6sin303S，不满足条件3.10S…，24n，12sin15120.25883.1056S，满足条件3.10S…，退出循环，输出n的值为24．故选：B．【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．6．（5分）若20xy„，则22xy的最小值是()A．1B．2C．2D．4【考点】7F：基本不等式及其应用【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用【分析】由20xy„，可得2xy…，从而222xyxy…即可求解【解答】解：20xy„，2xy…，则2224xyxy厖，[来源:学|科|网Z|X|X|K]当且仅当xy时取等号，此时最小值是4，故选：D．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题7．（5分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且22cosbcBa，则A的大小为()A．30B．60C．120D．150【考点】HP：正弦定理【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形【分析】由正弦定理，内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin2cossin0BAB，结合sin0B，可求1cos2A，结合范围(0,180)A，可求A的值．【解答】解：22cosbcBa，由正弦定理可得：sin2sin2cossinBCBA，可得：sin2sin2cossinBCBA，可得：sin2sin()sin2sincos2cossin2cossinBABBABABBA，sin2cossin0BAB，sin0B，12cos0A，解得：1cos2A，(0,180)A，120A．故选：C．【点评】本题主要考查了正弦定理，内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8．（5分）若函数()121xafx的图象关于原点对称，则实数a等于()A．2B．1C．1D．2【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51