部编版数学六年级上册第1讲.数形结合

六年级暑期归纳与递推六年级暑期从整体考虑六年级秋季数形结合六年级秋季从极端考虑六年级秋季算两次利用图形的技巧推导相关计算公式，并在理解公式的基础上解决相关问题大家都听说过数形结合这个词吧，我国著名数学家华罗庚就曾写过这么一首诗：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞．数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．几何代数统一体，永远联系莫分离．”可见数形结合的重要性，其实在以前的课程中，我们你已经不知不觉中用过了，比如解行程问题中用过的柳卡图、证明勾股定理的相关方法，这些都是用几何图形解决相关问题，今天我们再来认识用相关图形解决相关代数公式问题和应用题1.理解用图形法推导代数公式的过程2.会用图形法解决相关应用题一、看图说明勾股定理的证明过程⑴abcabcab-ab-a【分析】22()2cbaab，即222cab⑵cbbaaaaabbbba【分析】左右两幅图阴影面积应该相同，即222cab⑶【分析】这个梯形的面积为222()()22aabbSabab，也可以用左右个三角形和中间大三角形的和来表示2222ababcS所以有22222222aabbababc，即222abc二、看图说明第一次迎面相遇点和第三次迎面相遇点间距离008412963BA140米【分析】64140()4077一、数形结合的意义数和形是数学的两个基本概念，全部数学大体上就是围绕这两个概念的提炼、演变、发展而逐步展开的．而数形结合就是把抽象难懂的数学语言、数量关系与直观形象的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使相对的复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．在我们的小学数学教学中，如果教师能有意识地运用数形结合思想来设计教学，那将非常有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解，提供解决问题的方法，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力．“数形结合”对教师来说是一种教学方法、教学策略，对学生来说是一种学习方法，如果长期渗透，运用恰当，则使学生形成良好的数学意识和思想，长期稳固地作用于学生的数学学习生涯中．二、相关公式的推导（具体推导见例题）1.等差数列求和公式：和=(首项末项)项数÷22.平方和：2222(1)(21)1236nnnn3.立方和：2233332(1)123(123)4nnnn4.平方差：22()()ababab三、阶梯型标数法（一）阶梯型标数指的是求图中从点A走到点B的最短路线的条数（图中虚线不能走）（二）阶梯型标数特征1．走到图中任意一点的所有路线中，单位竖线段个数不多于单位横线段的个数。2．走到虚线边上任意一点的路线条数，恰好是卡塔兰数（1,，2，5，14，4，,13，,429，）模块一：相关数列公式的推导例1：等差数列求和公式的推导例2：平方和公式的推导例3：立方和公式的推导例4：等比数列求和公式的推导模块二：相关代数公式推导例5：平方差公式的推导例6：多项式乘法的推导模块三：数形结合的应用例7：矩形图法的应用例8：卡塔兰数的应用试用图解法说明：1123(1)2nnn【分析】图二图一11…11…1111……111111………11111111111111111第n行…第n-1行第三行第二行第一行将图一中所有1相加即是123n，将图一旋转180度后得图二，两图合起来看最后发现每行都有1n个1，恰有n行，因此得到1123(1)2nnn根据例1思路尝试探索：22221123(1)(21)6nnnn推导过程（学案对应：超常1，带号1）【分析】图三nnn-1nnnn-1n-1n-1n-2………32n-2321123n-223………n-2n-1n-1n-1nnnn-1nnnnnnnn-1n-1n-133第一行第二行第三行第n-1行…第n行1223n-1n………图一图二将图一中所有数相加即是2222123n，将图一顺时针旋转120度后得图二，再顺时针旋转120度后得图三，三图合起来看，最后发现每行对应位置的和为21n，恰有n行，因此得到2222123(21)(123)3nnn，即2222(1)(21)1236nnnn，试用图解法说明：33332123(123)nn（学案对应：超常2）【分析】方法一：第一步：先将下图各行求和再相加得：2(1234)(24682)(369123)(4812164)(234)nnnnnnnnn(1234)2(1234)3(1234)4(1234)(1234)nnnnnn2(1234)n第二步：还可以按下图线所连接的方式求和得21(242)(36963)(4812161284)(2332)nnnnnnn12(121)3(12321)4(1234321)(123321)nn333331234n综合第一、二步可知33332123(123)nn………n2n3n4n…n2481216…4n36912…3n2468…2nn…4321方法二：公元前1世纪古希腊数学家尼科梅切斯(Nichomachus)就是采用数形结合的方法——图解法，得出了三次方幂求和的公式：333321123[(1)]2nnn尼科梅切斯给出的解法是这样的：把求和式中任意一项k．写成“2kk”的形式，那么3k就可以理解成k个“边长为k”的正方形面积之和．那么，可以构造一个图形，如下图：43214321一方面，图中大正方形的边长为“1+2+3+4”，面积为2(1234)．另一方面它又等于全部小正方形的面积之和．但是注意在放置两个2×2及4×4的正方形时，两个正方形有重叠部分——图中浅色阴影正方形，再把重叠部分补到它的右上方的小正方块——图中深色阴影正方形中去，这样一来这些小正方形的面积和正好等于边长为“1+2+3+4”的大正方形面积．所以：333322222123411223344(1234)试用图解法说明：22()()ababab【分析】计算阴影部分面积即是22ab，bbaaaabbaabbbbaa但是计算阴影部分面积有如右图三种分割方法试用图解法说明：⑴().acd⑵()()abcd⑶()().abcde⑷(+)()()abcdef【分析】(1)、(2)、(3)中各块长方形面积和即为答案完全平方公式的证明22()2abaababb222aabb22()22abaabbbababbaaS6S5S4S3S4S3S2S1dcabbacdS1S2S2S1dca（4）的答案是各个小长方体的体积之和fedcab试用图解法说明：2341111111222222nn（学案对应：带号2）【分析】如图，将一个边长为的正方形，平均分成两块，然后再将剩下的平均分成两块，依次类推，分了n次以后，只剩下阴影部分了，因此有2341111111222222nn12n…116181412某校数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人；在实际中把一等奖中最后4人调整为二等奖．这样使二等奖的学生平均分提高了1分，使一等奖的学生平均分提高了3分，那么原来一等奖的平均分比二等奖的平均分多了几分？（学案对应：超常3，带号3）【分析】由总分总人数平均分，所以我们自然而然想到了矩形图，我们用矩形的长表示人数，宽表示平均数，那么对应矩形的面积则表示总分．依题意，画两个矩形分别表示一等奖和二等奖的情况，如图：20人10人二等奖平均分一等奖平均分?提高1分提高3分4人ACB20人6人二等奖平均分一等奖平均分?根据人数的调整情况与平均分的变化，进一步得到下图：由于调整前后的总分数没有发生变化，反映到矩形图中就意味着总面积不变．所以后来增加的面积就等于后来减少的面积：矩形B矩形A矩形C矩形A的面积6318；矩形C的面积20120．那么，矩形B的宽201849.5．因此，原来一等奖平均分比二等奖平均分高9.5110.5分．某体育馆，门票价格为50元，而且规定每人限购1张门票，现有10人排队购票．其中5人均手持50元面值的钞票，另5人均手持100元面值的钞票，而售票员只带了门票，没有准备零钱，问共有多少种购票序列是不需要售票处另外找零的？（学案对应：超常4，带号4）【分析】在下图中从A点沿格线走到B点，无论到途中哪一点，经过的小横线段都不少于小竖线段；所以用小横线段代表拿50元钱的人，小竖线段代表拿100元钱的人，在任何一个位置，拿面值50元的人数，不少于拿100元的人数；所以本题相当于求图中从A点到B点有多少种不同走法．利用标数法，可求出从A点到B点有42种走法．但是事实上10个人互不相同，必须将他们排队，可以分成两步，第一步排拿50元的人，5个人共有5!=120种排法；第二步排拿100元的人的方法也是5！种，因此共有5!×5!=14400种排队方法．这样，使售票员能找得开零钱的排队方法共有42×14400=604800(种)．一、踢三角可以解决的问题求自然数列与等差数列中对应项乘积的和二、矩形图法可以解决的问题当两个相关的量存在乘积关系时，可以尝试用矩形图法，其中一个量做为矩形的长，另一个量做为矩形的宽三、阶梯型标数可以解决的问题当两个量存在不多于或不少于时，可以尝试阶梯型标数法，其中较大的量用水平线表示，较小的量用竖直线表示四、相关公式1.平方和：2222(1)(21)1236nnnn2.立方和：2233332(1)123(123)4nnnn3.平方差：22()()ababab方格乘法方格乘法约于十五世纪传入中国，形如我国古代织出的锦缎．因此我国的劳动人民给这种计算格式起了一个很形象的名字——“铺地锦”．计算方法：先画一个矩形，把它分成m×n个方格（m，n分别为两乘数的位数），在方格上边、右边分别写下两乘数．再用对角线把方格一分为二，分别记录上述各位数字相应乘积的十位数与个位数．然后这些乘积由右下到左上，沿斜线方向相加，相加满十时向前进一．最后得到结果（方格左侧与下方数字依次排列）．举例如下图：46×75=3450.请你尝试用以上方法计算789×987．1.试用图解法说明：333321234(1234)【分析】如下图所有数的和为：(1234)(2468)(36912)(481216)(1234)2(1234)3(1234)4(1234)2(1234)也等于1(242)(36963)(4812161284)12(121)3(12321)4(1234321)33331234所以333321234(1234)2.某书店对顾客有一项优惠，凡购买同一种书100本以上，就按书价90%收款．某学校到书店购买甲、乙两种书．其中乙种书的册数是甲种书册数的35，只有甲种书得到了90%的优惠，这时，买甲种书所付的总价钱是买乙种书所付总钱数的2倍．已知乙种书每本定价是1.5元，那么优惠前甲种书每本原价是多少元？【分析】如下图，设甲种书有5份，乙种书有3份，则乙种书总钱数为31.54.5份，则甲种书总钱数为4.529份，甲种书优惠前