第六讲模糊数学及其应用

1模糊数学及其应用模糊数学引言模糊数学基本概念模糊模式识别模糊聚类与模糊决策模糊决策分析方法练习21965年，美国著名计算机与控制专家查德(L.A.Zadeh)教授提出了模糊的概念，并在国际期刊《InformationandControl》并发表了第一篇用数学方法研究模糊现象的论文“FuzzySets”(模糊集合)，开创了模糊数学的新领域。模糊是指客观事物差异的中间过渡中的“不分明性”或“亦此亦彼性”。如高个子与矮个子、年轻人与老年人、热水与凉水、环境污染严重与不严重等。在决策中，也有这种模糊的现象，如选举一个好干部，但怎样才算一个好干部？好干部与不好干部之间没有绝对分明和固定不变的界限。这些现象很难用经典的数学来描述。一、模糊数学引言1、发展3一、模糊数学引言精确数学：确定性统计数学：偶然性、随机性模糊数学：模糊性2、数学模型的分类◆确定性模型◆随机性模型◆模糊性模型4二、模糊数学基本概念定义为：上的“模糊集合”论域AX:))(,(XxxAxA称为“隶属空间”，：满足：称之为“隶属函数”它其中MMXAxA)(10M1、论域，被讨论对象的全体叫做论域，对称全域，通常用大写字母U、E、X、Y等来表示。5()AxxA2、隶属度：隶属函数描述了对模糊集合的隶属程度。3、模糊集A有下列三种常见的表示形式。i)zadeh表示法ii)序偶表示法iii)向量表示法6记为的模糊集合则以次评价构成作的评价依次为对四位学生的聪明程度经某种方法是一个模糊概念聪明生表示四位学用集合Axxxx,46.0,91.0,78.0,45.0,,,,,4321,0.46)(x,0.91),(x,0.78),(x,0.45),(xA43217隶属函数举例为：表示它们们的隶属函数分别这两个模糊集合年轻和年老中的对于年龄区间,BA”“”“(0,100)X，10050)50)/5)((x(15000A(x)12xx100x25)25)/5)((x(125x01B(x)12A(70)≈0.94，即“70岁”属于“年老”的程度为0.94。A(60)≈0.8，B(60)≈0.02，可认为“60岁”是“较老的”84、隶属函数的构造常用方法：1、例证法2、模糊统计法3、二元对比法4、模糊分布法（指派法）模糊数学的基本思想是隶属度的思想。应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数。95、模糊关系模糊矩阵模糊关系:通过描述关系程度的量来补充描述的关系,其中的关系程度通过隶属度来表示。设R=(rij)m×n，若0≤rij≤1，则称R为模糊矩阵.当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵.当模糊方阵R=(rij)n×n的对角线上的元素rii都为1时，称R为模糊自反矩阵.10,XYxXyYxyXYR例设、均为实数集合，对“远大于”是到的一个模糊关系，它的一个隶属函数可以描述为：yxyxyxyxR12)/(10010),(11-100kgcm例体重（）身高（）R(x,y)40kg50kg60kg70kg80kg14010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.8112身高与体重间的模糊关系矩阵18.02.01.008.018.02.01.02.08.018.02.01.02.08.018.001.02.08.0113三、模糊模式识别在模糊数学的实际应用中,有时需要比较两个模糊集合之间的相似程度,例如工程应用中的模糊识别，气象应用中确定天气类型或气候区等。模式识别：将事物的整体划分为若干类型而得到一组标准模式，对于一个确定的对象它属于哪一类问题称为模式识别。模糊模式识别：若整体被划分的类型与被识别的对象之中至少有一个是用模糊集表示的模式识别问题14性质：具有，：合，若映射中的模糊集为论域和、定义：令]10[)()(XFXFXCBA1),(1AA、),(),(2ABBA、的“贴近度”与为则称可得或、由BABACABACBACBA),(),(),(3贴近度贴近度是对两个模糊集接近程度的一种度量。15常用的贴近度计算式niiiHxBxAnBA1)()(11),(1、海明贴近度2/112)()(11),(niiiExBxAnBA2、欧几里得贴近度16模糊模式识别原则模糊模式识别方法主要建立在“最大隶属原则”——主要用于个体的识别“择近原则”——群体模型的识别17最大隶属原则：使得一个如果定的待识别对象标准模型。对于给模糊集合个中的是论域设},,2,1{,,,021niXxnXAAAn)}(),(),(max{)(002010xAxAxAxAni。相对地隶属于则认为iAx018其隶属函数分别为：糊集合他们分别对应于三个模、青三类，例题：将人分为老、中,,,321AAA7017060)20/)70((216050)20/)50((2500)(221xxxxxxxA老年197007060)20/)70((26050)20/)50((21504014030)20/)40((213020)20/)20((2200)(22222xxxxxxxxxxxA中年204004030)20/)40((23020)20/)20((21201)(223xxxxxxxA青年某人40岁，根据上式，A1(40)=0，A2(40)=1，A3(40)=0，则A2(40)=max{A1(40)，A2(40)，A3(40)}=1。按最大隶属原则，他应该是中年人。又如当x=35时，A1(35)=0.125，A2(35)=0.875，A3(35)=0。可见35岁的人应该是中年人。21择近原则使得：若存在中的模糊集合）对象待识别标准模型，对于给定的集合个模糊中的是论域设kXBnXAAAn,(,,211(,)max{(,),(,)}knABABAB最相似与则认为的贴近度，对表示其中kiiABABBA),(22四、模糊聚类与模糊决策对带有模糊特征的事物进行聚类分析，一般采用模糊数学的方法，模糊聚类分析一般分为三大类：1、系统聚类法：是一类基于模糊关系的分类法。其中包括基于模糊等价关系的聚类方法和基于模糊相似关系的聚类方法。2、迭代聚类法。3、混合法。23系统聚类法的基本步骤第一步：数据标准化1、数据矩阵：设论域为被分类的对象，每个对象又由个指标表示其性状：于是得到原始数据矩阵。},,{21nxxxUmnnnnmmxxxxxxxxxR212222111211nixxxximiii,2,1},,{21242、数据标准化在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使所有不同的量纲的量也能进行比较，通常需要对数据作适当的变换在模糊数学里，一般将数据压缩到区间[0，1]上。25通常需要作如下两种变换：1）平移、标准差变换kkikiksxxx'),2,1;2,1(mkniniikkxnx11nikikkxxns12)(126经过变换后，每个变量的均值为0，标准差为1，且消除了量纲的影响，但是，这样得到的还不一定在区间[0，1]上。2）平移、极差变换}{}{}{'1'1'1'''minmaxminikniikniikniikikxxxxx27第二步：标定（建立模糊相似矩阵）建立模糊相似矩阵的方法主要借用传统聚类分析的相似系数法、距离法。用距离法时，总是令其中为适当选取的参数，它可使得经常采用海明距离和欧氏距离。mnijrR)(),(1jiijxxcdrc10ijr28海明距离nijkikjixxxxd1),(欧式距离mkjkikjixxxxd12)(),(29第三步：聚类。基于模糊等价矩阵聚类方法：1、传递闭包法根据标定所得的模糊矩阵，只是一个模糊相似矩阵，不一定具有传递性，因此模糊矩阵不一定是等价矩阵。2、直接聚类：在建立模糊相似矩阵之后，不求传递闭包。3、布尔矩阵法30五、模糊决策分析方法12U,,nuuu12Vv,v,vmmnijrR)(模糊数学中有一个研究的热点问题就是“模糊决策”，它就是研究在模糊环境下或者模糊系统中进行决策的数学理论和方法。模糊决策的目标是把决策论域中的对象在模糊环境下进行排序，或按某些模糊限制条件从决策域中选择出最优对象。1、模糊综合评价方法是应用模糊关系合成的原理，从多个因素(指标)对被评价事物隶属等级状况进行综合性评判的一种方法，其具体的步骤为:(1)确定被评判对象的因素论域U，(2)确定评语等级论域V，通常评语有V={很高，高，较高，…，较低，低，很低}；(3)进行单因素评判，建立模糊关系矩阵R31RAB(4)确定评判因素权向量A=(a1,a2,…,an)，A是U中各因素对被评事物的隶属关系，它取决于人们进行模糊综合评判时的着眼点，即根据评判时各因素的重要性分配权重；(5)选择评价的合成算子，将A与R合成得到B=(b1,b2,…,bm)。(6)对模糊综合评价结果B作分析处理。32例：现对某种试销服装进行评价，以对最终的投产量决策提供科学依据。设考虑的因素集合为评判集合单因素评价结果如下：{}U花色式样，耐穿程度，价格费用V{}很好，较好，较差，很差33花色式样：(0.20.70.10)耐穿程度：(00.40.50.1)价格费用：(0.20.30.40.1)综合单因素评判集合可得出模糊关系341.04.03.02.01.05.04.0001.07.02.0R因素评判现假设有两类顾客，他们对U中给出的诸因素权重分配为)3.05.02.0(1A)2.03.05.0(２A35则可求得他们对这种服装的综合评价矩阵：最后可按最大隶属原则可直接判断他们对服装的评价。21,BB362、多目标模糊综合评价决策法当被评价的对象有两个以上时，从多个对象中选择出一个最优的方法称为多目标模糊综合评价决策法。评价的步骤：①对每个对象按上面多个因素进行模糊综合评价；②将模糊评语量化，计算各对象的总评分。假设模糊评价评语量化集（或评价尺度）为S，则各对象的总评分为：3、多层次模糊综合评价法TkkNBS37练习•（工程评标问题）某建设单位组织一项工程项目的招标，组建评标专家组对4个投标单位的标书进行评标。4个标书的指标信息见表1，其中前三个指标信息是各投标单位给定的精确数据，后三个指标信息是评标专家组经考察后的定性结论。请你帮评标专家组设计一个工程评标模型，以确定最后中标单位。38表1各投标单位基本信息表指标单位投标报价(万元)工期(月)主材用料(万元)施工方案质量业绩企业信誉度A148015192很好好高A219014196好一般一般A350114204好好很高A447518190一般很好一般权重0.30.10.10.20.10.2