离散时间信号与系统的时域分析

第5章离散时间信号与系统的时域分析5.1离散时间信号的基本概念5.2离散系统的基本概念5.3线性时不变离散系统的时域分析5.1离散时间信号的基本概念5.1.1离散时间信号的描述5.1.2基本离散信号5.1.3离散信号的运算与变换5.1.1离散时间信号的描述离散时间信号是指仅在时间的离散值有定义的信号，简称离散信号，也称离散序列。除可用序列描述外，还可用波形图等表示。下图所示信号f[k]={1、0、2、0、0、0、-1}{1、0、2、0、0、0、-1}(-2)图5-1离散信号f[k]k2101235-1-2-1-1145.1.2基本离散信号p2311．单位冲激序列单位冲激序列又称单位样值序列，如图5-2所示，δ[k]δ[k]任意序列均可表示为δ[k]的位移加权和即ppkpfkf][][][0001][kkk图5-2单位冲激序列δ[k]k100k][kf123-2-112-1-2-3图5-3]2[2]1[3][]2[]3[2][kkkkkkf2．单位阶跃序列ε[k]单位阶跃序列ε[k]，如图5-4所示，表示为：0001kkε[k]图5-4单位阶跃序列ε[k]k1012……341111δ[k]与任意信号相乘特性f[k]δ[k]=f[0]δ[k]f[k-m]δ[k]=f[-m]δ[k]f[k]δ[k-n]=f[n]δ[k-n]f[k-m]δ[k-n]=f[n-m]δ[k-n]3．门序列Ap2N+1[k-n]门高A，门宽2N+1，门的中心位置n图5-5门序列p2N+1[k]k101Ｎ…－Ｎ－１…４．无时限指数序列ａｋ（ａ为实常数）对于f［ｋ］＝ａｋε［ｋ］称为单边指数序列（a）衰减指数序列（b）增长指数序列（c）单位阶跃序列0123kLak-1110a0123kLak-111a0123kLak-111a][k][k][k（d）振荡衰减指数序列（e）振荡增长指数序列（f）等幅振荡序列图5-６单边指数序列0123kLak-1101a0123kLak-111a-1LL0123kLak-111a-1L-14][k][k][k５、正弦序列sinΩk或者cosΩk，简谐序列ejΩk简谐序列ejΩk不一定是周期信号，仅当为有理数时才是周期信号，满足上式的最小正整数N为其周期。Np20123kLk6sin-1-21456789101112L-10.50.8710.870.5-0.5-0.5-0.87-0.87-1-0.5-0.87图5-7周期正弦序列之一0123kLk114sin-1-21456789101112L-10.910.76-0.28-0.54-0.990.540.990.28-0.76-0.910.91-0.91-0.76图5-8周期正弦序列之二0123kLk51sin-1-21456789101112L0.20.390.560.840.720.930.9910.970.910.81-0.2-0.390.680.520.330.14-0.06-0.261314151617图5-9非周期正弦序列5.1.3离散信号运算与变化p2281、相加（乘）对应宗数函数值相加（乘）图5-10离散信号相加（乘）-2kf1[k]21112-10kf2[k]1212-10-2f1[k]+f2[k]k2212-10-2-111f1[k]f2[k]k21-101112、反褶：用(-k)代替f[k]中的独立变量k，得到f[k]的反褶信号f[-k]。f[k]与f[-k]波形对称于纵轴图5-11信号反褶-1f[k]k10-11f[-k]k-10-21-121113．移位用(k-n)代替f[k]中的独立变量k，得到f[k]的移位信号f[k-n],(n为整数)。当n0时，f[k-n]波形是f[k]波形右移n位的结果，当n0时，f[k-n]波形是f[k]波形左移│n│位的结果。图5-12信号移位(a)f[k](b)左位移信号(c)右位移信号kf[k]k0-11-1f[k+1]k-10-212f[k-1]1023-1122-11124、差分离散信号的差分运算分为前向差分和后向差分两种。离散信号f[k]的前向差分运算为：离散信号f(k)的后向差分运算为：][]1[][kfkfkfD]1[][][kfkfkf5、求和f[k]的求和运算为kppfky)(][图5-13信号求和示意图][kf][ky120-100k-101234133222…………k02…………（a）离散信号f[k](b)f[k]的求和信号y[k]图5-14离散信号及其求和信号0k][kf12-11-1230k][ky12-11233224…求和5.2离散系统的基本概念5.2.1线性时不变（LTI）离散系统的性质5.2.2离散系统的数学模型返回首页5.2.1线性时不变（LTI）离散系统的性质输入输出信号都是离散信号的系统称为离散时间系统，简称离散系统。][kf离散系统][ky图5-15离散系统框图1、离散系统的线性特性同时具三性，分解性，y[k]=yx[k]+yf[k];零输入响应yx[k]线性性和零状态响应yf[k]线性性。2、离散系统的移位不变特性已知，f]k]→y]k]则：f[k-n]→y[k-n]][kf][ky时不变系统0k0k][nky0k][nkf0nnn1231n2n3nL123456L4n1n2n3n5nLL6n图5-16移位不变离散系统5.2.2LTI离散系统的数学模型p2341、差分方程的阶差分方程的阶等于输出序列的最高、最低宗数之差。2、n阶LTI离散系统的数学模型n阶LTI离散系统的数学模型是n阶线性常系数差分方程。设输入f[k]，输出y[k]，一般形式为：y[k+n]+an-1y[k+n-1]+…+a1y[k+1]+a0y[k]=bmf[k+m]+bm-1f[k+m-1]+…+b1f[k+1]+b0f[k]其中，aj，bi均为常数3、算子超前算子EEf[k]=f[k+1]Enf[k]=f[k+n],（n为正整数）滞后算子E-1E-1f[k]=f[k-1]Enf[k]=f[k-n],（n为正整数）广义超前算子D(E)，是E的正幂次多项式如D(E)=E+2D(E)f[k]=(E+2)f[k]=f[k+1]+2f[k]广义滞后算子，其中D(E)是广义超前算子][)(][],[][)(1kfEDkykfkyED即：4、LTI离散系统的转移算子引入算子，得系统算子方程式D(E)y[k]=N(E)f[k]或y[k]=H(E)f[k]其中系统的转移算子01110111)()()(aEaEaEbEbEbEbEDENEHnnnmmmmLL5.3线性时不变离散系统的时域分析p2425.3.1零输入响应5.3.2零状态响应5.3.3卷和5.3.4无时限指数序列通过系统5.3.1零输入响应1、零输入响应的定义：系统在初始状态单独作用下（输入为零）的响应分量，定义为系统的零输入响应分量。是齐次差分方程D(E)yx[k]=0的解。2、零输入响应的求法：若LTI离散系统转移算子为（1）解特征方程D(E)=0，得特征根(j=1、2、…n)（2）当特征根均为单根时)()()(EDENEHjjikckynjkjjx,][1当特征根有重根时，设：其中ν1为γ重根，νγ+1…νn均为单根,则：)()()()(11nEEEEDLikCkCkCCkynjkjjkx,)(][11121L（3）代入初始状态定待定常数Cj。3、离散系统的自然模式yx[k]中各项的模式称为系统的自然模式5.3.2零状态响应1．零状态响应的定义：系统在输入的单独作用下（初始状态为零）的响应分量，称为系统的零状态响应，记为yf[k]。是差分方程yf[k]=H（E）f[k]在初始状态为零时的解2、单位数字冲激响应定义：系统在输入为单位数字冲激信号δ[k]时的零状态响应分量称为离散系统的单位数字冲激响应，记为h[k]。是差分方程h[k]=H(E)δ[k]在初始状态为零时的解][][)(],[][)(][1kkknnkkEHkhkk为整数2)()(EEEEEEHn3、零状态响应的求法：系统输入为f[k]时，零状态响应yf[k]=f[k]*h[k]4、离散系统单位阶跃响应：系统输入为单位阶跃序列时的零状态响应称为系统的单位阶跃响应，记为g[k]0][][]1[][][ppkhkgkgkgkh5.3.3离散卷和p2471．离散卷和的定义2．图解卷和3．卷和的性质4．卷和计算小结1．离散卷和的定义具相同宗数的二离散信号f1[k]和f2[k]的求和称为该二序列的离散卷和，记为：卷和运算中，求和上下限的选取与信号的取值范围有关，在计算时，需根据具体情况确定。当f1[k]和f2[k]均为因果序列时，二者卷和为：kppkfpfkfkf02121][)(][][[][]ppkfpf21ppkfpfkfkf][][][][21212．图解卷和离散信号的图解卷和与连续信号的图解卷积积分类似，是指应用形象直观的图形并结合计算来求解离散信号卷和的一种有效方法。此种方法的突出优点是便于确定求和的上下限，尤其适用于简单序列的卷和运算；其缺点是不易得到闭合函数形式。01k][1kf12220k][2kf1323211其图解卷积步骤如下：(1)置换[k→p],即f1[k]→f1[p],f2[k]→f2[p](2)反褶[p→-p],即f2[p]→f2[-p](3)移位[-p→k-p],即f2[-p]→f2[k-p](4)相乘即f1[p]f2[k-p](5)求和即kppkfpfpy021][][][“置换”“反褶”01p12220p][2pf1323211][1pf0p][2pf23-2-11(k0)(k=0)(k=1)(k=2)01p122213231][1pf][2kf-1-201p12221331][1pf]1[2kf-101p122133][1pf]2[2kf2k01p1222132312k1k][1pf][2pkf01p122133][1pf]3[2kf21201p1222133][1pf]4[2kf212401p1222133][1pf]5[2kf224501p1222133][1pf][2pkf22k2k1k(k=3)(k=4)(k=5)(k6)图5-17图解卷和02k][ky1072111345513、卷和的性质（1）代数运算性质交换律分配律结合律][][][][1221kfkfkfkf][][][][]][][[][3121321kfkfkfkfkfkfkf]][][[][][]][][[321321kfkfkfkfkfkf（2）离散序列与的卷和离散序列与的卷和][][][kfkkfkppfkεkf][][][][k][k（3）卷和的移位特性若f1[k]*f2[k]=y[k]，则：f1[k-n1]*f2[k-n2]=y[k-n1-n2]，（n1、n2为整数）（4）有限个样本点序列间的卷和仍为有限个样本点序列。若f1[k]、f2[k]的样本点数分别为N1、N2，则y[k]=f1[k]*f2[k]的样本点数N=N1+N2-14、卷和计算小结（1）定义、图解（2）性质与已知卷和结果（3）短序列间的卷和——列竖式法（4）因果序列之间的卷和——算子法若f1[k]=f1[k]ε[k]=F1(E)δ[k]f2[k]=f2[k]ε[k]=F2(E)δ[k]则：f1[k]*f2[k]=