传送带模型中的能量问题

传送带模型中的能量问题1．如图所示，比较长的传送带与水平方向的夹角θ＝37°，在电动机带动下以v0＝4m/s的恒定速率顺时针方向运行．在传送带底端P处有一离传送带很近的固定挡板，可将传送带上的物体挡住．在距P距离为L＝9m的Q处无初速度地放一质量m＝1kg的物体，它与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，物体与挡板的碰撞能量损失及碰撞时间不计，取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，求物体从静止释放到第一次返回上升至最高点的过程中：(1)相对传送带发生的位移；(2)系统因摩擦产生的热量；(3)传送带多消耗的电能；(4)物体的最终状态及该状态后电动机的输出功率．【解析】(1)要分上和下两个过程处理，注意相对路程和相对位移是不一样的。解法1：力和运动法．物体由静止释放，沿传送带向下加速运动，相对传送带亦向下滑，受力如图1所示，有mgsinθ－μmgcosθ＝ma1，得a1＝2m/s2与P碰前速度v1＝2a1L＝6m/s设物体从Q到P的时间为t1，则t1＝v1a1＝3s设物体对地位移为x1，可知x1＝L＝9m，相对传送带向下的位移Δx1＝x1＋v0t1＝21m物体与挡板碰撞后，以速度v1反弹，向上做减速运动，因v1v0，物体相对传送带向上滑，设速度减小到与传送带速度相等的时间为t2，此过程受力如图2所示，有mgsinθ＋μmgcosθ＝ma2得a2＝10m/s2，t2＝v1－v0a2＝0.2s在t2时间内物体对地向上的位移x2＝v1＋v02t2＝1m相对传送带向上的位移Δx2＝x2－v0t2＝0.2m物体速度与传送带速度相等后，由于mgsinθμmgcosθ物体不能匀速，将相对传送带向下滑，对地向上做加速度大小为a3＝a1＝2m/s2的减速运动，设速度减小到零的时间为t3，t3＝v0a3＝2s此过程中物体对地向上的位移x3＝v02t3＝4m相对传送带向下的位移Δx3＝v0t3－x3＝4m整个过程中两者相对滑动位移为Δx＝Δx1－Δx2＋Δx3＝24.8m.解法2：相对运动法．以传送带为参考系，在求出相对初速度和相对加速度后，三个阶段物体相对传送带的位移分别为Δx1＝v0t1＋12a1t21＝21mΔx2＝(v1－v0)t2－12a2t22＝0.2mΔx3＝12a3t23＝4m第二阶段物体相对传送带向上运动，两者相对滑动总位移为Δx＝Δx1－Δx2＋Δx3＝24.8m.解法3：图象法．设沿传送带向上为正方向，画出如图3所示物体和传送带运动的v－t图象，直接用物体和传送带v－t图线所夹的面积表示相对发生的位移：Δx1＝v0＋v0＋v1t12＝21m，Δx2＝v1－v0t22＝0.2mΔx3＝12v0t3＝4m两者相对滑动的总位移为Δx＝Δx1－Δx2＋Δx3＝24.8m.(2)系统因摩擦产生的热量，是由于一对滑动摩擦力作用点移动的不同导致做功不等而造成的，产生的热量不是与传送带和物体间的相对移动的位移而是与相对移动的距离有关(如图4所示阴影部分面积)：Q＝Q1＋Q2＋Q3＝Ff·Δl＝μmgcosθ(Δx1＋Δx2＋Δx3)＝100.8J.出现相对来回的情况时，热量要用相对路程而不能用相对位移(3)传送带消耗的电能是因为传送带要克服摩擦力做功，这与传送带对地运动位移有关(如图5所示阴影部分面积)，在物体向下加速和相对传送带向下运动的减速阶段，摩擦力对传送带做负功消耗电能，在物体相对传送带向上运动的减速阶段，摩擦力对传送带做正功，减少电能损耗．ΔE电＝－Ff(x传送带1－x传送带2＋x传送带3)＝－μmgcosθ(v0t1－v0t2＋v0t3)＝－76.8J即传送带多消耗的电能为76.8J.可由功能关系处理，从开始到回到最高点过程中，系统增加了热能100.8J，减少了重力势能mgxsinθ，x=x1-x2-x3=4m,mgxsinθ=24j,系统动能就有变，系统总的增加了100.8-24=76.8j所以传送带多消耗的电能是76.8j(4)物体返回上升到最高点时速度为零，以后将重复上述过程，且每次碰后反弹速度、上升高度依次减小，最终达到一个稳态：稳态的反弹速度大小应等于传送带速度4m/s，此后受到的摩擦力总是斜向上，加速度为gsinθ－μgcosθ＝2m/s2，方向斜向下，物体相对地面做往返“类竖直上抛”运动，对地上升的最大位移为xm＝v202a1＝4m，往返时间为T＝2v0a1＝4s传送带受到的摩擦力大小始终为Ff＝μmgcosθ，稳态后方始终斜向下，故电动机的输出功率稳定为P＝Ffv0＝μmgcosθ×v0＝16W.传送带受到物体的摩擦力方向向下，电动机对传送带的力要向上，这样，电动机的输出功率用力和时间的积就可以求出了。【答案】(1)24.8m(2)100.8J(3)76.8J(4)最终状态见解析16W如图所示，甲、乙两种粗糙面不同的传送带，倾斜于水平地面放置，以同样恒定速率v向上运动．现将一质量为m的小物体(视为质点)轻轻放在A处，小物体在甲传送带上到达B处时恰好达到传送带的速率v；在乙传送带上到达离B竖直高度为h的C处时达到传送带的速率v.已知B处离地面的高度皆为H.则在小物体从A到B的过程中()A．两种传送带与小物体之间的动摩擦因数相同B．将小物体传送到B处，两种传送带消耗的电能相等用功能关系求，消耗的电能等于系统增加的重力势能和热能C．两种传送带对小物体做功相等对小物体用动能定理求D．将小物体传送到B处，两种系统产生的热量相等解析：小物体在两种传送带均做初速度为零的匀加速直线运动，加速度大小a＝μgcosθ－gsinθ，在速度达到v的过程中，小物体在甲传送带上的位移s较大，根据公式a＝v22s，可知小物体在甲传送带上时的加速度较小，根据a＝μgcosθ－gsinθ，可得μ＝agcosθ＋tanθ，即小物体与甲传送带间的动摩擦因数较小，选项A错误；在小物体从A到B的过程中，根据功能关系可知，传送带对小物体做的功等于小物体机械能的增加量，选项C正确；在小物体从A到B的过程中，只有小物体相对传送带发生滑动时，即只有在加速过程中，系统才发生“摩擦生热”，根据公式Q＝fs相对计算系统产生的热量，可选取做匀速运动的传送带为惯性参考系，小物体在惯性参考系里做初速度大小为v，加速度大小为a＝μgcosθ－gsinθ，末速度为零的匀减速直线运动，可求出s相对＝v22a，可见，s相对等于小物体相对于地面速度从0加速到v过程中的位移，即系统产生的热量等于小物体加速过程中摩擦力对小物体做的功，对于甲传送带，在加速过程中摩擦力做正功设为W1，克服重力做功为mgH，动能改变量为12mv2，根据动能定理可求得W1＝12mv2＋mgH，同理可求出小物体在乙传送带上加速过程中摩擦力做的功为W2＝12mv2＋mg(H－h)，显然W1W2，所以Q1Q2，即甲系统产生的热量多，选项D错误；在将小物体传送到B处的过程中，传送带消耗的电能等于系统增加的机械能和产生的内能，两种系统增加的机械能相等，产生的内能不等，所以消耗的电能不等，选项B错误．答案：C如图所示，在大型超市的仓库中，要利用皮带运输机将货物由平台D运送到高为h＝2.5m的平台C上．为了便于运输，仓储员在平台D与皮带间放了一个14圆周的光滑轨道ab，轨道半径为R＝0.8m，轨道最低点与皮带接触良好．已知皮带和水平面间的夹角为θ＝37°，皮带和货物间的动摩擦因数为μ＝0.75，运输机的皮带以v0＝1m/s的速度沿顺时针方向匀速运动(皮带和轮子之间不打滑)．现仓储员将质量为m＝200kg的货物放于轨道的a端(g＝10m/s2)．求：(1)货物到达圆轨道最低点b时对轨道的压力；(2)货物沿皮带向上滑行多远才能相对皮带静止；(3)皮带将货物由A运送到B需对货物做多少功．对物体用动能定理求解析：(1)货物由a到b，由机械能守恒定律得mgR＝12mv2解得v＝2gR＝2×10×0.8m/s＝4m/s在最低点b，由F合＝ma得F－mg＝mv2RF＝mv2R＋g＝200×420.8＋10N＝6×103N由牛顿第三定律可知货物到达圆轨道最低点时对轨道的压力F′＝F＝6×103N.(2)货物在皮带上运动时，由动能定理得：－mgxsin37°－fx＝12mv20－12mv2且f＝μmgcos37°解得：x＝v2－v202gsin37°＋μcos37°＝0.625m.(3)由于tan37°＝μ，则货物减速到v0后便和皮带一起匀速向上运动货物由平台D运送到平台C的过程中，由功能关系知，皮带对货物做的功为W＝mg(h－R)＋12mv20＝3500J.答案：(1)6×103N(2)0.625m(3)3500J