行列式因子习-题题解

习题1.求下列矩阵()A的行列式因子，根据所求行列式因子计算不变因子，最后写出()A的标准形：2221111121);2);3);4);311112121222222110230(1)5)011;6)10;00121(1)1102101217);8).0021002abbaabba解1）由211()(1)(1)(3)40,31A可得(())2,rA故()A有1,2阶行列式因子，由于4个1阶子式互素，故1阶行列式因子1()1,D由于唯一一个2阶子式，即()A的行列式等于2，所以2阶行列式因子2()1,D根据行列式因子与不变因子之间的关系，可得()A的不变因子为11()()1,dD221()()1,()DdD因此，()A的标准形为1.12）由21()(1)(1)10,11A可得(())2,rA故()A有1,2阶行列式因子，由于4个1阶子式互素，故1阶行列式因子1()1,D由于唯一一个2阶子式，即()A的行列式等于1，所以2阶行列式因子2()1,D根据行列式因子与不变因子之间的关系，可得()A的不变因子为11()()1,dD221()()1,()DdD因此，()A的标准形为1.13）由322211()(1)(1)(1)(2)0,121A可得(())2,rA故()A有1,2阶行列式因子，由于4个1阶子式的最大公因式为1,，故1阶行列式因子1()1,D由于唯一一个2阶子式，即()A的行列式等于2(1)(2)，所以2阶行列式因子22()(1)(2),D根据行列式因子与不变因子之间的关系，可得()A的不变因子为11()()1,dD221()()(1)(2),()DdD因此，()A的标准形为1.(1)(2)4）由2232322()(22)(2)20,21A可得(())2,rA故()A有1,2阶行列式因子，由于4个1阶子式互素，故1阶行列式因子1()1,D由于唯一一个2阶子式，即()A的行列式等于2，所以2阶行列式因子2()1,D根据行列式因子与不变因子之间的关系，可得()A的不变因子为11()()1,dD221()()1,()DdD因此，()A的标准形为1.15）由3()(1)0,A可得(())3,rA故()A有1,2,3阶行列式因子，由于有1个2阶子式1111为非零常数，故2阶行列式因子2()1,D由于12()|(),DD故1阶行列式因子1()1,D由于唯一一个3阶子式，即()A的行列式等于3(1)，所以3阶行列式因子33()(1),D根据行列式因子与不变因子之间的关系，可得()A的不变因子为11()()1,dD221()()1,()DdD3332()()(1),()DdD因此，()A的标准形为311.(1)6）由于222222230(1)301()10(1)10,21(1)1111A记矩阵301()10,111B则()(1)(),AB先考虑矩阵()B的行列式因子，由于有两个2阶子式分别为0,11101,11可见它们互素，故()B的2阶行列式因子2()1,D从而()B的1阶行列式因子1()1,D()B的唯一一个3阶子式，即()B的行列式等于322244,故()B的3阶行列式因子（注意，需要“首一化”！）为：3232132()(2244)22,D于是根据()(1)(),AB可得()A的1,2,3阶行列式因子分别为：11()(1)()1,DD2222()(1)()(1),DD333233()(1)()(1)(22),DD根据行列式因子与不变因子之间的关系，可得()A的不变因子为11()()1,dD221()()1,()DdD32332()()(1)(22),()DdD因此，()A的标准形为3211.(1)(22)7）由222()[()]0,ababAabbaba可得(())4,rA故()A有1,2,3,4阶行列式因子，下面按0b与0b两种情况进行讨论：（1）0,b这时010001(),000000aaAaa由于有1个2阶子式10101为非零常数，故2阶行列式因子2()1,D由于12()|(),DD故1阶行列式因子1()1,D16个3阶子式如下：{按先固定行（1,2,3）（1,2,4）（1,3,4）（2,3,4），再分别写出（1,2,3）（1,2,4）（1,3,4）（2,3,4）列的子式顺序。}010001(),000000aaAaa（1,2,3）行的4个子式：（1）（1,2,3）列30100();00aaaa（2）（1,2,4）列00010;000aa（3）（1,3,4）列210001();00aaa（4）（2,3,4）列010010;00aa010001(),000000aaAaa（1,2,4）行的4个子式：（5）（1,2,3）列01000;000aa（6）（1,2,4）列30001();00aaaa（7）（1,3,4）列100010;00aa（8）（2,3,4）列201001();00aaa010001(),000000aaAaa（1,3,4）行的4个子式：（9）（1,2,3）列01000;000aa（10）（1,2,4）列000000;00aa（11）（1,3,4）列31000();00aaaa（12）（2,3,4）列010000;00aa010001(),000000aaAaa（2,3,4）行的4个子式：（13）（1,2,3）列00000;000aa（14）（1,2,4）列010000;00aa（15）（1,3,4）列001000;00aa（16）（2,3,4）列30100();00aaaa由于16个3阶子式中不为零的是3(),a2(),a所以3阶行列式因子23()(),Da由于唯一一个4阶子式，即()A的行列式等于4(),a所以4阶行列式因子44()(),Da根据行列式因子与不变因子之间的关系，可得()A的不变因子为11()()1,dD221()()1,()DdD2332()()(),()DdaD2443()()(),()DdaD因此，()A的标准形为2211;()()aa（2）0b时1001(),0000abbaAabba由于有1个2阶子式10101为非零常数，故2阶行列式因子2()1,D由于12()|(),DD故1阶行列式因子1()1,D又由于有一个3阶子式10012(),0babaab并且它与222[()]ab互素，所以必有3()1,D显然，2224()[()],Dab根据行列式因子与不变因子之间的关系，可得()A的不变因子为11()()1,dD221()()1,()DdD332()()1,()DdD222443()()[()],()DdabD因此，()A的标准形为22211.1[()]ab8）由4()(2)0,A可得(())4,rA故()A有1,2,3,4阶行列式因子，由于有1个3阶子式121121为非零常数，故3阶行列式因子3()1,D由于12()|(),DD23()|(),DD故1，2阶行列式因子1()1,D2()1,D由于唯一一个4阶子式，即()A的行列式等于4(2),所以4阶行列式因子44()(2),D根据行列式因子与不变因子之间的关系，可得()A的不变因子为11()()1,dD221()()1,()DdD332()()1,()DdD4443()()(2),()DdD因此，()A的标准形为411.1(2)