一元二次方程复习(精品)

LOGO一元二次方程复习一元二次方程的有关概念一元二次方程的解法一元二次方程根的判别式一元二次方程根与系数的关系一元二次方程与实际问题一元二次方程复习板块一：知识结构aacbbx24221、02cbxax等量关系分析抽象设元解一元二次方程直接开平方法配方法公式法因式分解法方程应用一元二次方程解释检验实际问题)0(a等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程一、一元二次方程的概念特点:①都是整式方程;②只含一个未知数;③未知数的最高次数是2.ax2+bx+c=0(a≠0)二次项系数一次项系数一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为的形式,我们把(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。20axbxc20axbxc1、判断下面哪些方程是一元二次方程222221x2y24(1)x-3x+4=x-7()(2)2X=-4()(3)3X+5X-1=0()(4)3x-20()(5)13()(6)0()xy√√××××练习一2、把方程（1-x)(2-x)=3-x2化为一般形式是：___________,其二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是____.3、方程（m-2)x|m|+3mx-4=0是关于x的一元二次方程，则（）A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠±22x2-3x-1=02-3-1C4、关于x的方程(a2-4)x2+(a+2)x-1=0(1)当a取什么值时,它是一元一次方程?(2)当a取什么值时,它是一元二次方程?a2-4=0a+2≠0解:(1)∴a=2∴当a=2时，原方程是一元一次方程(2)a2-4≠0∴a≠±2∴当a≠±2时，原方程是一元二次方程5、已知关于x的方程(m-3)x2+2x+m2-9=0有一个根是0，试确定m的值解：∵0是方程的解∴代入得m2-9=0∴m=±3经检验m=±3都符合题意∴m=±3.以上解法对吗(1)直接开平方法Ax2=B(A≠0)(2)因式分解法1、提取公因式法2、平方差公式(3)配方法当二次项系数为1的时候，方程两边同加上一次项系数一半的平方(4)公式法当b-4ac≥0时，x=aacbb242二、一元二次方程的解法1.化1:把二次项系数化为1;2.移项:把常数项移到方程的右边;3.配方:方程两边同加一次项系数一半的平方;4.变形:化成5.开平方，求解(xm)a+=2“配方法”解方程的基本步骤：★一除、二移、三配、四化、五解.①先化为一般形式；②再确定a、b、c,求b2-4ac；③当b2-4ac≥0时,代入公式:2±42bbacxa--=步骤归纳若b2-4ac＜0,方程没有实数根。1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零;2.理论依据是:如果两个因式的积等于零那么至少有一个因式等于零.因式分解法解一元二次方程的一般步骤:一移-----方程的右边=0;二分-----方程的左边因式分解;三化-----方程化为两个一元一次方程;四解-----写出方程两个解;直接开平方法：适应于形如（x-k）²=h（h0）型配方法：适应于任何一个一元二次方程公式法：适应于任何一个一元二次方程因式分解法：适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程一、选用适当方法解下列一元二次方程1、(2x+1)2=64(法）2、(x-2)2-４(x+１)2=0(法）3、(５x-４)2-(4-５x)=０(法）4、x２-４x-10=０(法）5、３x２-４x-５=０(法）6、x２＋６x-1=0(法）7、３x２-８x-３=０(法）8、y2-y-1=0(法）2选择方法的顺序是：直接开平方法→分解因式法→公式法→配方法因式分解因式分解公式公式公式因式分解公式直接开平方练习二2、解下列方程（１）、用直接开平方法：(x+2)2=９（2）、用配方法解方程4x2-8x-5=0解:两边开平方,得:x+2=±3∴x=-2±3∴x1=1,x2=-5右边开平方后，根号前取“±”。两边加上相等项“1”。解:移项,得:3x2-4x-7=0a=3b=-4c=-7∵b2-4ac=(-4)2-4×3×(-7)=100＞0∴∴x1=x2=解:原方程化为（y+2)2﹣3（y+2）=0(y+2)(y+2-3)=0(y+2)(y-1)=0y+2=0或y-1=0∴y1=-2y2=141002563x±±==先变为一般形式，代入时注意符号。83-把y+2看作一个未知数，变成(ax+b)(cx+d)=0形式。（3）、用公式法解方程3x2=4x+7（4）、用分解因式法解方程（y+2)2=3(y+2）4（5）：解下列方程一元二次方程的解法：225120xx解：用因式分解法时应先将方程右边化为0。4230xx40x14,x-3421（因式分解法）30x或2232x注：3：用最好的方法求解下列方程1)（3x-2）²-49=02)（3x-4）²=（4x-3）²3)4y=1－y²23解:（3x-2）²=493x-2=±7x=x1=3，x2=－35372解：法一:3x-4=±（4x-3）3x-4=4x-3或3x-4=-4x+3-x=1或7x=7x1=-1，x2=1法二:(3x-4)²－(4x-3)2=0(3x-4+4x-3)(3x-4x+3)=0(7x-7)(-x-1)=07x-7=0或-x-1=0x1=-1，x2=1解：3y²＋8y－2=0b²－4ac=64－43(-2)=88X=68883224,322421xx4、一元二次方程ax²+bx+c=0，若x=1是它的一个根，则a+b+c=，若a-b+c=0，则方程必有一根为。5、方程2x²-mx-m²=0有一个根为-1，则m=，另一个根为。0-12或-12或1/22221221214044222402340acbbacbbac.aa()bac,;b.a()bac,.xxxx2（）当b时，一元二次方程有两个不相等的实数根；，　当时一元二次方程有两个相等的实数根当时一元二次方程没有实数根　　　　　　三、一元二次方程的根与系数：1.根的判别式：b2-4ac一元二次方程的根与系数的关系：若ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则x1+x2=_______；x1x2=___；以x1、x2为根（二次项系数为1）的一元二次方程为_________________.x2-(x1+x2)x+x1x2=0abac2.韦达定理：1．（2010安徽芜湖）关于x的方程(a－5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（）A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠5【答案】A2．（2010山东日照）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是（A）－3，2（B）3，-2（C）2，－3（D）2，3【答案】A3、（2010山东滨州）一元二次方程x2+kx-3=0的一个根是x=1,则另一个根是()A.3B.-1C.-3D.-2【答案】C4．（2010湖北荆门）如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实数根，则实数a的取值范围是【答案】a＜1且a≠05．（2010湖北鄂州）已知α、β是一元二次方程x2-4x-3=0的两实数根，则代数式（α-3）（β-3）=．【答案】-6列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、验、答．（1）、平均增长（降低）率公式2(1)axb（2）在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．1.数字与方程例1.一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.得根据题意为设这两位数的个位数字解,,:x.3102xxx.030112xx整理得.6,521xx解得.3363,2353xx或.36,25:或这个两位数为答数字与方程例2.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为736.求原来的两位数.得根据题意字为设这个两位数的个位数解,,:x.736510510xxxx.0652xx整理得.3,221xx解得.2355,3255xx或.2332:或这两个数为答2.几何与方程例1.一块长方形草地的长和宽分别为20cm和15cm,在它的四周外围环绕着宽度相等的小路.已知小路的面积为246cm2,求小路的宽度.得根据题意设小路的宽度解,,:xm.2461520215)220(xx:整理得).,(241;321舍去不合题意xx,01233522xx:解得.3:m小路的宽度为答201515+2x20+2x几何与方程例2.如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽.得根据题意设水渠的宽度解,,:xm.885660)292(xx:整理得).,(105;121舍去不合题意xx,01051062xx:解得.1:m水渠的宽度为答几何与方程例3.将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成一个正方形.(1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪?(2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪?(3).这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗?得根据题意设剪下的一段为解,,.2:xcm.100456)4(22xx:整理得,0562xx:解得.,0,5621舍去不合题意xx.196,:2cm面积能等于可围成一个正方形的其不剪答例2.某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低19%，那么平均每年需降低百分之几?3增长率与方程得根据题意分数为设每年平均需降低的百解,,:x%.191)1(2x:解这个方程).,(9.01%;109.0121舍去不合题意xx,81.0)1(2x,9.0)1(x,9.01x%.10:数为每年平均需降低的百分答例1.一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数是多少?4.美满生活与方程得根据题意设这次到会的人数为解,,:x.6621xx:整理得).,(02231;12223121舍去不合题意xx.01322xx:解得,223125291x.12:人这次到会的人数为答思考(09年广东中考)（本题满分9分）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？例2.小明将勤工助学挣得的500元钱按一年定期存入银行,到期后取出50元用来购买学习用品剩下的450元连同应得的税后利息又全部按一年定期存入银行如果存款的年利率保持不变,且到期后可得税后本息约461元,那么这种存款的年利率大约是多少?(精确0.01%).美满生活与方程得根据题意设这种存款的年利率为解,,:x.461)8.01](50)8.01(500[xx:整理得).,(0%;44.1144.021舍去不合题意xx.0117603202xx:解得%.44.1:这种存款的年利率约为答,6402.769760640591680760x例.某果园有100棵桃树,一棵桃树平均结1000个桃子,现准备多种一些桃树以提高产量.试验发现,每多种一棵桃树,每棵棵桃树的产量就会减少2个.如果要使产量增加15.2%,那么应种多少棵桃树?5.