第一章--偏微分方程定解问题

第一章偏微分方程定解问题引言：在研究、探索自然科学和工程技术中，经常遇到各种微分方程。如牛顿定律22dxdtmg------(1)波动方程222222222(,,,)ftxyzuuuuatxyz------(2)热传导方程2222222(,,,)ftxyzuuuuatxyz------(3)静电场位方程2222222(,,)fxyzuuuaxyz------(4)激波方程0uuutx------(5)等等。其中(1)为一维常微分方程；(2)----(4)为三维偏微分方程；(5)为一维偏微分方程。这些数学中的微分方程均来自物理问题，有着各自的物理背景，从数量关系上反映着相应的物理规律，称为数学物理方程，简称数理方程。数学物理方程是数学与物理学的交叉分支学科。从物理上讲它是理论物理的基本工具；在数学上属于应用数学的(偏)微分方程分支。本课程主要研究和讨论三类数理方程(2)，(3)，(4)的建立(导出)以及几种常用的典型的求解方法。为了下面研究和讨论的方便，先引入有关微分方程的几个基本概念(术语)。1.常，偏微分方程只含一个自变量，关于该变量的未知函数，以及未知函数对该变量的导数的微分方程为常微分方程，如(1)。含有多个自变量，关于这些变量的未知函数，以及未知函数对这些变量的偏导数的微分方程为偏微分方程，如(2)----(5)。2.阶上述(1)----(5)均可改写成如下形式220dxmgdt------(1’)22230utauf-------(2’)230utauf------(3’)230auf------(4’)0uutxu------(5’)其中2223222xyz，x=x(t)，u=u(t,x,y,z)或u(x,y,z)，f=f(t,x,y,z)或f(x,y,z)。这些方程可归纳为如下形式12121212,,,,,,,,,,nmnmmmnnuuuuFxxxuxxxxxx=0，其中12nmmmm为导数的最高阶数，成为方程的阶。3.线性、非线性偏微分方程只涉及未知函数及其偏导数的线性组合(一次项)的偏微分方程称为线性偏微分方程。如(2)----(4)。含有未知函数及欺骗导数二次或二次以上乘积项的偏微方程称为非线性偏微分方程。如(5)。1.1三个典型方程的导出本课程中研究问题的方式是：先将物理问题装化为数学问题，建立数学模型；再求解数学模型；最后由所得解来分析，解释，揭示实际物理问题出现的结果。1.1.1：弦的(微小)横振动(1)相关的物理规律牛顿第二定律Fma胡克定律Fmx(2)波动方程的导出微元分析法：(x,x+dx)已知外力,;,Gtxdxgtxdxj，均匀线密度为弦内部张力12(,)(,)(,)TtxdxTtxdxiTtxdxj12(,)(,)(,)TtxTtxiTtxj导数的基和意义：21/xuTT，21/xuTT21(,)(,)(,)xTtxdxutxdxTtxdx21(,)(,)(,)xTtxutxTtx由牛顿第二定律得到如下矢量关系式(,)(,;)(,)(,)tttxtxdxtxdxtxdmuGTT即1122:(,)(,)0:(,)(,)(,)(,)ttiTtxdxTtxjdxutxgtxdxTtxdxTtx由此可得：10Tx，2211122()xxTuTuuggTuxxtx即11(,)()TtxTt，22122()uugTttx又由小振动条件知2222||111,1xxxuudsdxduudxdx而22212111()xTTTTuTTt故最终有一维波动方程为22222(,)ftxuuatx，用同样的方法可导出：二维波动方程(如鼓膜小振动)：2222222(,,)ftxyuuuatxy，三维波动方程(如声波)：22322222222(,,)(,,)uftxyftxyuuuuaatxyz。(3)说明波动方程反映了一类物理系统，如细弦、弹性杆、鼓膜、声音，乃至电磁系统中的电流、电压、电场、磁场随时间演化的共同规律。这些物理系统的状态(方程的解)随时间的变化是可逆的。而在数学上该方程属于一类典型的偏微分方程----双曲型方程。1.1.2:热传导问题(1)相关的物理规律傅立叶定律(热传导)qkukijkuxxx其中dQqndSdt为沿n方向的热流强度，k0，能量转化与守恒定律(热平衡)QCVu牛顿冷却定律(热交换)0(,)[(,,,)|]SqSthutxyzu，其中S为边界面积，0u为外界温度。(2)热传导方程的导出微元分析法dV=dxdydz已知dV中dt内产生的热量为g(t,x,y,z)dVdt经面1流入dV的热量1Q满足：1|xxQuqkxdydzdt，经面2流入dV的热量2Q满足：2()||xdxxdxxdxQuuqkkxdydzdtxtt+dt内沿x轴流入dV中的净热量为12||QQdydzdtxxdxuukkxx(||)xxxxxxdxkuudydzdtkudxdydzdt，同理，tt+dt内沿y轴流入dV中的净热量为34yyQQkudxdydzdt，tt+dt内沿z轴流入dV中的净热量为56zzQQkudxdydzdt故tt+dt内dV中增加的净热量为512346(,,,)gtxyzdVdtQQQQQQ(,,,)zzxxyygtxyzdVdtkudVdtkudVdtkudVdt(,,,)()zzxxyygtxyzkuuudVdt这些热量用来使dV内的物质在tt+dt内升温，升温所需的热量为ttcdmudtcdVudt，c为物质的比热，由能量守恒定律知：(,,,)()zzxxyytgtxyzkuuudVdtcdVudt即(,,,)()zzxxyytgtxyzkuuucu化简后可得三维热传导方程222223222(,,,)(,,,)uuuuaftxyzauftxyztxyz其中kac，(,,,)(,,,)gtxyzftxyz。同理可得出二维、一维热传导方程为：二维(如温度分布、变化与高度无关的柱体)22222(,,)uuuaftxytxy；一维(如侧面绝热细杆)222(,)uxuaftxt。(3)说明热传导方程也反映了一类物理现象的共同特征。只要机理与热传导相似(有源，流等)，如气体扩散、杂质扩散、浓度扩散等，均满足该形式的方程，故热传导方程也常称为扩散方程。这类现象(方程的解)随时间的演化是不可逆的。在数学上，该方程也属于一类典型的偏微分方程----抛物型方程。1.1.3:(静电)场位方程(1)相关物理规律高斯定律01(,,)(,,)VVExyzdSxyzdV(积分形式)(,,)xyzExyzijkEiEjEkxyz01(,,)yxzEEExyzxyz(微分形式)法拉弟定律(,,)0LExyzdl(积分形式)(,,)xyzExyzijkEiEjEkxyz0yyxxzzEEEEEEijkyzzxxy(微分形式)(2)场位方程的导出若(,,)(,,)Axyzxyzijkijkxyzxyz则(,,)yyxxzzAxyzijkyzzxyx2222220ijkyzzyzxxzyxxy反之，数学上可以证明：若(,,)0Axyz，则必有标量函数(,,)xyz，使(,,)Axyz。由法拉弟定律可知E代入高斯定律有20(,,)()xyz，化简后即得三维场位方程2223222(,,)uuuufxyzxyz其中0(,,)(,,)xyzfxyz，相应的二维和一维方程分别是：2222(,)uufxyxy和22()ufxx。(3)说明场位方程也反映了一类物理现象，即稳定分布现象的共同特征。这些现象是不随时间变化的(方程的解中不含时间变量)，故也常成为稳定分布方程。例如，热传导问题中可以出现单位时间内某物体内热源产生的热量恰好等于传出体外的热量，此时体内温度的分布便不随时间变化，在热传导方程中有2222222(,,,)0uuuuaftxyztxyz，热传导方程自然转化为温度的稳定分布方程。在数学上，场位方程(有时称为Poisson方程)属于又一类典型的偏微分方程----椭圆型方程。1.2定解问题及其适定性在完成了建立偏微分(数理)方程后，接下来的任务就是求解这些方程。为此还要介绍几个有关微分方程解的基本概念。1.2.1:解，通解和特解如果将一个函数代入微分方程(取代未知函数)后，原方程变成一个恒等式，该函数就称为原方程的解。微分方程的解可分为两类：通解和特解。例1.2.1求解0u，其中(,)uu。分析：若()uu，则0ududuC为与无关的任意常数。但当(,)uu时，虽然由0u形式上仍可得uC，但此处的常数C应该仅仅只是与无关。因,是两个独立的变量，故一般说来，C可以与有关，即()Cf为与无关的任意函数。20u解：将原方程两边对积分，得()uf。例1.2.2求解20u，其中(,)uu。解：原方程可写为0u，两边对积分一次得()uh，两边再对积分一次得()()()hdgfu其中(),()gf均为任意可微函数。上述两例中方程的解均含有任意函数。例1.2.1含一个，而方程为1阶；例1.2.2中含两个，而方程为2阶。这种m阶偏微分方程的含有m个任意函数的解称为偏微分方程的通解。与常微分方程通解相比，它们要复杂得多。这就从数学上表明仅有偏微分方程本身，充其量只能求得其通解，不能确定其中任意函数的具体形式。具体问题的解释不能含有不确定的任意函数或任意常数的，这种解称为方程的特解。以波动方程为例从物理上看，在获得这一方程时仅考虑到任一时刻弦内部及外力对弦内部的作用而未考虑初始时刻弦的运动以及外部环境对弦震动的影响，因此，不管是初始时不动的弦还是初始时运动的弦；不管是无限长的弦还是有限长的弦，它们的运动均满足同一个波动方程。换句话说，这些不同情况的弦的运动都是波动方程的解。因此，仅有一个波动方程最多就能解出反映各种弦运动共同特征的通解，而不能得出反映不同的具有各自特色的弦运动的特解。前述分析表明实际上单靠一些数理方程是不能完全决定一个具体问题的解的，因此，数理方程本身被称为泛定方程。1.2.2:定解条件前面已说明，要解决一个具体的数理问题，单给泛定方程是不够的。更为严重的是，实际上只有极