(完整版)三角函数最全知识点总结

三角函数、解三角形一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1.任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角．①正角：按__逆时针__方向旋转形成的角．②负角：按__顺时针__方向旋转形成的角．③零角：如果一条射线__没有作任何旋转__，我们称它形成了一个零角．(2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．(3)象限角：角α的终边落在__第几象限__就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限.象限角轴线角2．弧度制(1)1度的角：__把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1°的角__.(2)1弧度的角：__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角__.(3)角度与弧度的换算：360°＝__2π__rad,1°＝__π180__rad,1rad＝(__180π__)≈57°18′.(4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝__|α|·r__，面积S＝__12|α|r2__＝__12lr__.3．任意角的三角函数定义(1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝__yr__，cosα＝__xr__，tanα＝__yx__.(2)三角函数在各象限的符号是：sinαcosαtanαⅠ__＋____＋____＋__Ⅱ__＋____－____－__Ⅲ__－____－____＋__Ⅳ__－____＋____－__记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线．4．终边相同的角的三角函数sin(α＋k·2π)＝__sinα__，cos(α＋k·2π)＝__cosα__，tan(α＋k·2π)＝__tanα__(其中k∈Z)，即终边相同的角的同一三角函数的值相等．重要结论1．终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角α终边相同的角时，单位必须一致．2．确定αk(k∈N*)的终边位置的方法(1)讨论法：①用终边相同角的形式表示出角α的范围．②写出αk的范围．③根据k的可能取值讨论确定αk的终边所在位置．(2)等分象限角的方法：已知角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求αk是第几象限角．①等分：将每个象限分成k等份．②标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴．③选答：出现数字m的区域，即为αk所在的象限．如α2判断象限问题可采用等分象限法．二、同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：__sin2x＋cos2x＝1__.(2)商数关系：__sinxcosx＝tanx__.2．三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα__－sinα____－sinα____sinα____cosα____cosα__余弦cosα__－cosα____cosα____－cosα____sinα____－sinα__正切tanα__tanα____－tanα____－tanα__重要结论1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sinx＝tanx·cosx，tan2x＋1＝1cos2x，(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx等．2．特殊角的三角函数值表角α0°30°45°60°90°120°150°180°270°角α的弧度数0π6π4π3π22π35π6π3π2sinα0122232132120－1cosα13222120－12－32－10tanα03313－3－3303.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·π2＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·π2＋α中，将α看成锐角时k·π2＋α所在的象限．4.sinx＋cosx、sinx－cosx、sinxcosx之间的关系sinx＋cosx、sinx－cosx、sinxcosx之间的关系为(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx，(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx，(sinx＋cosx)2＋(sinx－cosx)2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．三、两角和与差的三角函数二倍角公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝__2sinαcosα__；(2)cos2α＝__cos2α－sin2α__＝__2cos2α__－1＝1－__2sin2α__；(3)tan2α＝__2tanα1－tan2α__(α≠kπ2＋π4且α≠kπ＋π2，k∈Z)．3．半角公式(不要求记忆)(1)sinα2＝±1－cosα2；(2)cosα2＝±1＋cosα2；(3)tanα2＝±1－cosα1＋cosα＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.重要结论1．降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.3．公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)．1－tanα1＋tanα＝tan(π4－α)；1＋tanα1－tanα＝tan(π4＋α)cosα＝sin2α2sinα，sin2α＝2tanα1＋tan2α，cos2α＝1－tan2α1＋tan2α，1±sin2α＝(sinα±cosx)2.4．辅助角(“二合一”)公式：asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中cosφ＝__aa2＋b2__，sinφ＝__ba2＋b2__.5.三角形中的三角函数问题在三角形中，常用的角的变形结论有：A＋B＝π－C；2A＋2B＋2C＝2π；A2＋B2＋C2＝π2.三角函数的结论有：sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，sinA＋B2＝cosC2，cosA＋B2＝sinC2.AB⇔sinAsinB⇔cosAcosB.四、三角函数的图象与性质1．周期函数的定义及周期的概念(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做__周期函数__.非零常数T叫做这个函数的__周期__.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小__正周期__.(2)正弦函数、余弦函数都是周期函数，__2kπ(k∈Z，k≠0)__都是它们的周期，最小正周期是__2π__.2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域x∈Rx∈Rx∈R，且x≠π2＋kπ，k∈Z值域__{y|－1≤y≤1}____{y|－1≤y≤1}____R__单调性在__[－π2＋2kπ，π2＋2kπ]__，k∈Z上递增；在__[π2＋2kπ，3π2＋2kπ]__，k∈Z上递减在__[(2k－1)π，2kπ]__，k∈Z上递增；在__[2kπ，(2k＋1)π]__，k∈Z上递减在(－π2＋kπ，π2＋kπ)，k∈Z上递增最值x＝__π2＋2kπ(k∈Z)__时，ymax＝1；x＝__－π2＋2kπ(k∈Z)__时，ymin＝－1x＝__2kπ(k∈Z)__时，ymax＝1；x＝__π＋2kπ(k∈Z)__时，ymin＝－1无最值奇偶性__奇____偶____奇__对称性对称中心__(kπ，0)，k∈Z____kπ＋π2，0,k∈Z__(kπ2，0)，k∈Z__对称轴__x＝kπ＋π2，k∈Z____x＝kπ，k∈Z__无对称轴最小正周期__2π____2π____π__重要结论1．函数y＝sinx，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是__(0,0)__、__(π2，1)__、__(π，0)__、__(3π2，－1)__、__(2π，0)__.函数y＝cosx，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关健点是__(0,1)__、__(π2，0)__、__(π，－1)__、__(3π2，0)__、__(2π，1)__.2．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T＝2π|ω|，函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝π|ω|.3．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期．而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．4．三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．五、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用1．五点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0)的图象(1)列表：X＝ω·x＋φ0π2π3π22πx__－φω____π2ω－φω____πω－φω____3π2ω－φω____2πω－φω__sinx010－10y__0____A____0____－A____0__(2)描点：__(－φω，0)__，__(π2ω－φω，A)__，(πω－φω，0)，(3π2ω－φω，－A)__，(2πω－φω，0)__.(3)连线：把这5个点用光滑曲线顺次连接，就得到y＝Asin(ωx＋φ)在区间长度为一个周期内的图象．(4)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象2．由函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的步骤3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，x∈[0，＋∞)的物理意义(1)振幅为A.(2)周期T＝__2πω__.(3)频率f＝__1T__＝__ω2π__.(4)相位是__ωx＋φ__.(5)初相是φ.重要结论1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间的“长度”为T2.2．“五点法”作图中的五个点：①y＝Asin(ωx＋φ)，两个最值点，三个零点；②y＝Acos(ωx＋φ)，两个零点，三个最值点．3．正弦曲线y＝sinx向左平移π2个单位即得余弦曲线y＝cosx.六、正弦定理、余弦定理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容__asinA＝bsinB＝csinC__＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)a2＝__b2＋c2－2bccosA__b2＝__a2＋c2－2accosB__c2＝__a2＋b2－2abcosC__常见变形①a＝__2RsinA__，b＝__2RsinB__，c＝__2RsinC__；②sinA＝__a2R__，sinB＝__b2R__，sinC＝__c2R__；③abc＝__sinABC__④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝__b2＋c2－a22bc__；cosB＝__a2＋c2－b22ac__；cosC＝__a2＋b2－c22ab__解决解斜三角形的问题(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边，求各角；(2)已知两边一角，求第三边和其他两个角2．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAa＝bsinAbsinAaba≥baba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解3．三角形常用面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．重要结论在△ABC中，常有以下结论1．∠A＋∠B＋∠C