函数的单调性教案

-1-课题：1.3.1函数的单调性教学目标（一）、知识目标1、使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念；2、初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法；（二）、能力目标1、对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；2、对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．（三）、情感目标1、由知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；2、让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程，感受数形结合的美．教学重点：函数单调性的概念、判断及证明函数的单调性．教学难点：归纳抽象函数单调性的定义，用定义证明函数的单调性．教学用具：直尺，彩色粉笔，小黑板课型：新授课.课时：第1课时.教学方法：探究研讨法，讲练结合法。教学过程：（一）创设情境，引入课题这是某市2010年元旦这一天24小时的温度变化图，观察这个温度变化图，内江师范学院数学与信息科学学院试讲教案--2-（1）什么时候温度最低，什么时候温度最高（4点最低，14点的时候最高）（2）从0点到14点，温度是怎样变化的，从4点到14点，温度有事随着时间怎样变化的（0点到4点，逐渐下降，4点到14点逐渐上升的）随着时间的推移，气温先下降，后上升再下降.这里的上升和下降在数学中就反映出函数的一个基本性质-单调性.（二）讲授新课函数，我们在初中的时候都已经学过了，也学过函数的增减性，那对于一个函数的“上升”和“下降”的性质，我们是如何知道的呢？通过观察图像那我们先来看一下几个简单的函数图像，画出2yx，2yx，2yx函数的图像大家先观察第一个图像，从左至右上升第二个图像，从左至右下降那对于第三个图像呢，(,0)下降，(0,)上升，图像这种上升和下降的性质描述的就是单调性，也就是说函数的单调性描述的是函数图像的上升和下降，那思考一下，如何来描述函数的单调性呢？我们先来看一下2yx这个图像，我们可以再y轴右边取一些点，通过解析式可以算出它的函数值x......12345......y......1491625......通过这个表格，我们可以发现，自变量x增大时，函数值y也相应的增大，那如果我们在y轴右边不是取的一些整数点，而是任意的取两点，1x，2x，同学们思考一下是不是有2212xx，函数2()fxx图象在y轴左侧从左至右“下降”，函数图象在y轴右侧从左至右xy01-222yx2-2图3xy01-222yx2-2图1xy1-222yx2-2图20内江师范学院数学与信息科学学院试讲教案--3-“上升”；现在以2()fxx在y轴右侧为例，函数值()fx随x的增大而增大，我们就说2()fxx在(0,)上为增函数，这是从图象的角度来认识增函数的．如何从解析式的角度用数学语言来描述它呢？从解析式角度用数学语言描述：在区间(0,)上，任意取两个实数1x，2x，由解析式可得到221212()()fxfxxx=1212()()xxxx，当12xx时，有12()()fxfx.所以函数2()fxx在区间(0,)上为增函数.对于一般的函数()yfx，我们应当如何给增函数下定义1、增函数的定义设函数()fx的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值1x，2x，当12xx时，都有12()()fxfx，那么就说函数()fx在区间D上为增函数．现在我们看2()fxx在y轴左侧，随着自变量x的增大，函数值()fx反而减小，就称2()fxx在(,0)上为减函数．可类似用上述数学语言描述可得到当12xx时，有12()()fxfx.于是类比上述的定义方法归纳出减函数的定义．2、减函数的定义设函数()fx的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值1x，2x，当12xx时，都有12()()fxfx，那么就说函数()fx在区间D上是减函数．如果函数()yfx在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数()yfx在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做()yfx的单调区间．说明：1)增函数的图象从左至右是上升的，减函数的图象从左至右是下降的；2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是函数的局部性质；（三）例题讲解，深化知识例1如图所示函数y=f(x)是定义在[-5，5]上的单调函数，说出它的单调区间以及在这些区间上是增函数还是减函数？内江师范学院数学与信息科学学院试讲教案--4-例2物理学中的玻意耳定律kPV（k为常数），告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强P将增大，试用函数的单调性证明之。分析：把kPV看成是一个函数，V为自变量，P为函数值，则只要证明函数kPV在区间(0,)上是减函数即可。证明：任取12,VV(0,)，且12VV，1212()()kkPVPVVV2121()kVVVV，由12,(0,)VV得120VV，又由12VV得210VV.又0k，于是12()()0PVPV,即12()()PVPV.所以函数kPV在（(0,)上为减函数，当体积V减小时，压强P增大.总结：通过这个例题可以归纳出用定义证明函数单调性一般有四个步骤：（1）设值：任取1x，1xD，且12xx；（2）作差变形：作差12()()fxfx，通常采用因式分解、配方、有理化等变形；（3）定号，即确定差12()()fxfx的符号；（4）结论,即根据定义作出结论．（四）反馈练习，巩固提高课堂练习：证明函数xxf)(在(0,)上是增函数．（五）课堂小结提问：这节课你学到了哪些新知识？然后归纳总结：1、单调函数的图像的特征和单调性的定义．2、判断单调性的方法有两种：图像法、定义法．3、用定义证明函数单调性的四个步骤.（六）布置作业必做题：课本P39习题1.3的A组1，2，3题．探究题:探究函数)0(1xxxy的单调性，画出其草图，并证明你的结论内江师范学院数学与信息科学学院试讲教案--5-板书设计1.3.1函数的单调性1.增函数定义2.减函数定义例1例2步骤小结作业xy01-222()fxx2-2图1