专题-函数的定义域和值域

专题：函数的定义域、值域A一、基本知识①函数的定义域：函数自变量的取值范围。此定义包涵以下内容：⑴自变量即是函数方程中的某一个未知数，可以是x，也可以是其他字母ba,；如：12axaxy的定义域是1,1，无法确定是x或a的范围，但1)(2axaxxf和1)(2axaxag就非常明确；⑵复合函数的定义域：①)1(xf的定义域是1,11,1x，不是1,11x；②)]([xgf的内函数的值域是外函数定义域的子集。⑶分段函数的定义域：分段函数各子函数的定义域交集为，值域为各子函数的并集。题型一、常规函数的定义域例1、求下列函数的定义域1．（1）xxxxxxf02)1(65)(；（2）1132xxxy；2.函数)1lg(11)(xxxf的定义域是（）A．(-∞,-1)B．(1,+∞)C．(-1,1)∪(1,+∞)D．R3.函数)13lg(13)(2xxxxf的定义域是（）A．（，31）B．(31，31）C．(31，1）D．(31，）4．若函数()fx的定义域为[,]ab，且0ba，则函数()()()gxfxfx的定义域是（）A．[,]abB．[,]baC．[,]bbD．[,]aa5.已知()fx=11x，则函数(())ffx的定义域是()A．{|1}xxB．{|2}xxC．{|12}xxx且D．{|12}xxx或6.函数＝268ykxxk的定义域为R，则k的取值范围是（）A.09kk或B.1kC.91kD.01k7．已知函数22(3)1xyaxax的定义域是R,则实数a的范围是_________________.题型二、抽象函数的定义域例2、1．若函数()fx的定义域为[－2，2]，则函数()fx的定义域是（）A．[－4，4]B．[－2，2]C．[0，2]D．[0，4]2．已知函数)(xf的定义域为[0，4]，求函数)()3(2xfxfy的定义域为（）A．[2,1]B．[1,2]C．[2,1]D．[1,2]3.若函数)2(xf的定义域为[－2，2]，则函数)12(xf的定义域是_________________.B一、基本知识①函数的值域：在定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有取值所组成的集合。此定义包涵以下内容：⑴定义域优先的原则；⑵定义域和对应法则共同决定值域；⑶这是一种“映射”关系，在对应法则不变的情况下，定义域的改变会可能会导致值域的改变；⑷值域的产生依赖于定义域，二者存在因果和一定的反解关系；②函数的最值：函数的最大值：一般地，设函数)(xfy的定义域为I,如果存在实数M满足：⑴对于任意Ix,都有Mxf)(；⑵存在Ix0，使得Mxf)(0，那么称M为函数的最大值（MaximumValue）。函数的最小值：一般地，设函数)(xfy的定义域为I,如果存在实数M满足：⑴对于任意Ix,都有Mxf)(；⑵存在Ix0，使得Mxf)(0，那么称M为函数的最小值（MinimumValue）。③高中常见函数的族谱分类和说明1、基础函数：xyxyxyxyayxyxyxyxyxyxycyaxtan,cos,sin,log,,1,,,,,,32此类函数是高中数学中的基础或者标准函数，它们是一切其他复杂函数的源头。它们可以通过平移、伸缩，翻折变换为我们经常见到的其他函数，因此，其他函数都会或多或少保留着它们的性质和特征。一般来说，如下的映射变换是我们经常遇见的：①加减常数：axx，作用：导致左右平移，一般不改变函数的值域；②乘除常数：axx作用：扩大或者缩小x的取值，但一般不改变值域；特别地，如果．．0a，则会．．．改变函数的单调性．．．．．．．．；③取倒数：xx1作用：改变定义域，产生分式，函数不连续，也改变相应区间．．．．．．函数．．的单调性．．．．；④取平方：2xx作用：平方的运算级别是高中数学中考察最多的部分。平方的出现从函数形态来讲，．．．．．．．．．．．．．就是为产生对称轴做准备的．．．．．．．．．．．．，一般来说，因其具备偶函数的特征即会产生增减单调区间，也会产生最值。另外，平方作为一个非负形式，在求解范围（或值域）是首先考虑的对象。⑤取绝对值：xx，作用：绝对值尽管从函数形态来说，因其具备偶函数的特征会使函数有对称轴，也是非负的，也会产生增减区间，但真正考察最多的仍然是绝对值的讨论．．．．．．．．．．．．．．．．，即打开绝对值，作为分段函数考虑问题的部分；⑥取二次根式：xx作用：二次根式的作用首先是要改变函数的定义域，其次才是其非负性对于解题的作用，当然在满足定义域的情况下，二次根式是不改变函数的单调性；需要说明的是，x与．x通过．．换元实际是二次．．．．．．．关系．．。⑦取指数：xax作用：从运算角度来说，指数多在乘除；具备恒正的特征，也因其a的不确定性，改变其单调性。⑧取对数：xxalog作用：从运算角度来说，对数多在加减；真数要求改变了函数的定义域，也因其a的不确定性，改变其单调性。2、常见函数的值域①一次函数：形如)0(kbkxy的函数。值域为R.②二次函数：形如cbxaxy2)0(a的函数。当,0a值域为,442abac；当,0a值域为abac44,2；当给定区间求值域时，考虑开口方向、对称轴与区间关系和区间端点与对称轴的距离。③三次函数：形如dcxbxaxy23)0(a的函数。求导，一般求极值。④分式函数形如)0(cdcxbaxy的函数；值域cayy|。⑤对勾函数形如)0,0(baxbaxy的函数。作为均值不等式的“消防队员”，经常在均值无法求解的时候，帮助解决问题；值域为,22,abab。⑥指数函数形如xay（1,0aa）的函数；值域为,0。⑦对数函数形如xyalog1,0aa的函数；值域为,。⑧正弦函数和余弦函数形如xysin,xycos的函数；值域为1.1。三角函数的方法此处不详解二、求解值域及其方法我们得到一个函数的定义域和解析式，要求出该函数的值域，有必要全面分析该函数所具备的信息。要学会将一个复杂函数产生的过程在头脑里清晰呈现，才能真正看透函数的本质，消除对函数的畏惧心理。1、基础法熟练记住xx1,2xx,xx,xx变换，尤其是定区间上的取值范围，并总结规律。例1.当x在下列区间时，求函数xyxyxy1,,2函数的值域。1.)1,2(2.)25,2(3.3,24.2,5.2,2、观察法一般来讲，能够直接观察求解的函数是由几种基本变换得来的，且能够简单作图或者可以直接看出在定义域上的单调性。例2.函数)1(,11xxxy的值域。例3.函数xxy21的值域。例4.已知0x41则y=x1-x的最小值是。3、对称轴法有对称轴的函数，主要表现以下一些类型：1、二次函数)0(2acxaxy或者复合后的二次型，主要方法是配方法；2、绝对值函数baxy和绝对值变换)(xfy；3、其他抽象型对称函数。一般来说，大多数函数关于对称轴对称的图像单调性都是相反的。另外，有对称轴的函数求值域往往是蕴含在动轴定区间和定轴动区间问题中。1、二次函数型例5.求函数32xxy在下列区间上的值域1、]1,2[2、]2,1[3、]1,2[4、]1,[tt例6，求下列函数的值域。1、xxy212、12xxy3、1224xxy4.1234xxy5、xxaaxf221)((a0且a≠1)6、10612xxy7、y＝2－xx422、绝对值函数型例7、求当]3,2[x时，函数xy21的值域例8、求函数32xxy的值域。例9、求下列函数的值域。1、13xxy2、13xxy3、132xxy此类函数采用分类讨论与数形结合。3、抽象型偶函数涉及周期性和对称性的，此处不详解。4、换元法产生换元的情况和说明：①函数式本身形态不易与常规函数对号入座②存在某个非常规的数式，阻碍思维的前进③换元以后式子变的更加简洁和容易与常规函数对号入座④换元结束要保证范围的一致性，即等量代换。我们常用的是局部换元和三角换元。例6，求下列函数的值域。1、xxy212、12xxy3、1224xxy4.1234xxy5、xxaaxf221)((a0且a≠1)例9.已知函数)4(log)1(22xxfa，则函数)(xf的值域是。☆例10.求函数21xxy的值域。☆例11.求函数xxxxycossincossin的值域。5、分式函数的值域中的方法1、可化为xy1型例12.求函数152)(xxxf的值域。（分离常数法、公式法和数形结合）例13.求函数11)(xxeexf的值域。xe可以换为xxxxaxcos,sin,,,2（有界性、反解法）2、可化为xxy1型例14.求下列函数的值域。1、3222xxy2、)1(122xxxxy3、可化为xxy1型例14.求下列函数的值域。1、)31(1xxxy2、)2(142xxxxy4、判别式法例15.求函数12)(2xxxf的值域。例16.求函数22122xxxy的值域。6、数形结合法例17.利用函数图像求下列函数的值域1、132xxy2、32xxy3、21xxy4、152)(xxxf7、导数法和单调性此处不详解。小结：值域的求解是理解函数思想的初步，并且以有解、无解和恒成立问题的形式，渗透在在函数、三角函数、数列、圆锥曲线和导数中，达到函数、方程和不等式的统一，把映射的思想发挥到极致。