内蒙古固阳县第一中学2019届高考数学模拟试题

内蒙古固阳县第一中学2019届高考数学模拟试题第I卷（选择题共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知集合{2,1,0,1,2}A，集合{+2)(1)0}Bxxx（，则AB()A.1,0B.0,1C.1,0,1D.0,1,22.已知,abR，i是虚数单位，若ia与2ib互为共轭复数，则2i=ab()A.34iB.54iC.3+4iD.5+4i3.如果0ab，那么下列不等式一定成立的是()A.22abB.11abC.22lglgoaobD.11()()22ab4.已知随机变量服从正态分布2(0,)N，若(2)0.023P，则-22=P（）（）A.0.477B.0.628C.0.954D.0.9775.执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整数a的可能取值的集合是()A.1,2,3,4,5,6B.1,2,3,4,5C.2,3,4,5,6D.2,3,4,56.如图，阴影区域是由函数cosyx的一段图象与x轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（）A.1B.2C.π2D.π开始i=0结束i=i+1a13?输出i是否a=2a+3输入aOxyπ3π227.某四棱锥的三视图如图所示，记A为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A.2AÎ，且4AÎB.2AÎ，且4AÎC.2AÎ，且25AÎD.2AÎ，且17AÎ8.已知{}na为等比数列，若452,5aa，则128lglglgaaa=()A.6B.5C．4D.39.函数()cos()fxx的部分图像如图所示，则()fx的单调递减区间为（）A.13(2,2),44kkkZB.13(,),44kkkZC.13(2,2),44kkkZD.13(,),44kkkZ10.已知R上的偶函数()fx在[0,)上单调递增，(2)0f，则(1)0fx的解集为()A.(2,2)B.(1,3)C.(,2)(2,)D.(,1)(3,)11.设F为抛物线2:y=3xC的焦点，过F且倾斜角为°30的直线交于C于,AB两点，则AB=()A.303B.73C.6D.1212.已知函数32()31fxaxx，若()fx存在唯一的零点0x，且00x，则a的取值范围是()A.,2B.,1C.2,D.1,正(主)视图俯视图侧(左)视图414111第II卷（非选择题共64分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。）13.已知向量,ab满足||4br，a在b方向上的投影是12，则ab．14.102axx展开式中的常数项为180，则a．15.若实数,xy满足约束条件220,240,2,xyxyy则xy的取值范围是_______.16.已知F是双曲线22:18yCx的右焦点，P是C左支上一点，0,66A，则APF周长的最小值为．三、解答题（本大题共5个题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，且3coscos2BC23sinsin2cosBCA．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积53S，5b，求a的值．18.（本题满分10分）如图，在三棱锥ABCP中，PA底面ABC，ACBC，H为PC的中点，M为AH的中点，2PAAC，1BC.（1）求证：AH平面PBC；（2）求PM与平面AHB成角的正弦值；19.（本题满分10分）前不久，安徽省社科院发布了2015年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”。随后，安徽师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度。现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；ABCPHM（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”。求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．20.（本题满分10分）已知直线1:xyl，23:22yxO圆,直线l被圆截得的弦长与椭圆)0(1:2222babyaxC的短轴长相等,椭圆的离心率23e(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(0，13)的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请在答题卡上填涂题号对应标记。22.（本题满分8分）选修4—4：极坐标及参数方程选讲在直角坐标系xy中，直线l的参数方程为13232xtyt（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为23sin．（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）为直线l上一动点，当到圆心C的距离最小时，求的直角坐标．23.（本题满分8分）选修4—5：不等式选讲已知定义在R上的函数21xxxf的最小值为a.（1）求a的值；（2）若rqp，，为正实数，且arqp，求证：3222rqp.高三模拟考试数学试题答案一、选择题：（每小题3分，共36分）题号123456789101112答案ACBCDBDCADDA二、填空题：（每小题4分，共16分）13.214.215.13,2216.32三、解答题：17.（本小题满分10分）解：（1）由23coscos23sinsin2cosBCBCA得23cos()22cosBCA，即22cos3cos20AA得1cos2A或cos2A（舍）因为0A，所以3A（2）由13sin5324SbcAbc得20bc因为5b，所以4c22222cos1251625421221abcbcAaa18.（本小题满分10分）（1）证明：因为PA底面ABC，BC底面ABC，所以PABC，又因为ACBC，PAACA，所以BC平面PAC，又因为AH平面PAC，所以BCAH.因为PAAC，H是PC中点，所以AHPC，又因为PCBCC，所以AH平面PBC.（2）解：在平面ABC中，过点A作，BCAD//因为BC平面PAC，所以AD平面PAC，由PA底面ABC，得PA，AC，AD两两垂直，所以以A为原点，AD，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A，(0,0,2)P，(1,2,0)B，(0,2,0)C，(0,1,1)H，11(0,,)22M.设平面AHB的法向量为(,,)xyzn，因为(0,1,1)AH，(1,2,0)AB，由0,0,AHABnn得0,20,yzxy令1z，得(2,1,1)n.设PM与平面AHB成角为，因为)23,21,0(PM，所以1320(1)1()22sincos,562PMPMPMnnn，即215sin15.19.（本小题满分10分）解：（1）众数：8.6；中位数：8.75；（2）设Ai表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则；ABCPHMNzxyD（3）ξ的可能取值为0，1，2，3．；；；．则ξ的分布列为：ξ0123P所以Eξ=．另解：ξ的可能取值为0，1，2，3．则ξ～B（3，），．所以Eξ=．20.（本小题满分10分）(1)则由题设可求的1b，又22e2a所以椭圆C的方程是2212xy．(2)解法一：假设存在点T（u,v）．若直线l的斜率存在，设其方程为13ykx，将它代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160kxkx．设点A、B的坐标分别为1122(,),(,)AxyBxy，则12212212,18916.189kxxkxxk因为1122(,),(,)TAxuyvTBxuyv及112211,,33ykxykx所以1212()()()()TATBxuxuyvyv2221212121(1)()()339vkxxukkvxxuv222222(666)4(3325)62uvkkuuvvk当且仅当0TBTA恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T，所以222266604033250uvuuvv解得0,1.uv此时以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为221xy也过点T（0，1）．综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1），满足条件．解法二：若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是221.xy若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是22116().39xy由22221,116().39xyxy解得01xy．由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）．事实上点T（0，1）就是所求的点．证明如下：当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为221xy，过点T（0，1）；当直线l的斜率存在，设直线方程为13ykx，代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160.kxkx设点A、B的坐标为1122(,),(,)AxyBxy，则12212212,18916.189kxxkxxk因为1122(,1),(,1)TAxyTBxy，21212121212416()1(1)()39TATAxxyyyykxxkxx222216161632160.189kkkk所以，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件．22.（本小题满分8分）解：（1）由23sin得223sin从而有2223xyy，所以22(3)3xy（2）设13(3,)22Ptt，又(0,3)C，则22213(3)(3)1222PCttt故当0t时，PC取得最小值，此时P点的直角坐标为（3,0）24.（本小题满分8分）（1）因为12(1)(2)3xxxx,当且仅当12x时,等号成立,所以()fx的最小值等于3,即3a.（2）由（I）知3pqr,又因为,,pqr是正数,所以22222222()(111)(111)()9pqrpqrpqr,即2223pqr.