吉林省长春市普通高中2019届高三数学质量检测试题三文含解析

吉林省长春市普通高中2019届高三数学质量检测试题（三）文（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由诱导公式可得，故选B.2.已知集合，则＝（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直接求出A与B的交集即可．【详解】找出A与B的交集即可．解：集合，则，故选：D．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.在复平面内，复数对应的点位于（）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，复数对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．4.执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出p为（）A.6B.24C.120D.720【答案】B【解析】【分析】根据程序框图运行程序，按判断框循环运行，不符合时输出即可.【详解】按照程序框图运行程序，输入，，，一次运行：，此时，循环得二次运行：，此时，循环得三次运行：，此时，循环得四次运行：，此时，输出本题正确选项：【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，属于基础题.5.已知等差数列的前n项和为，且，则＝（）A.0B.10C.15D.30【答案】C【解析】【分析】利用，结合求得结果.【详解】由等差数列性质可知：本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.6.已知、是两个单位向量，且夹角为，则＝（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的数量积的运算法则求解即可．【详解】解：、是两个单位向量，且夹角为，则（2）•（﹣2）＝﹣4+5．故选：A．【点睛】本题主要考查平面向量，向量的数量积的应用，是基本知识的考查．7.若，则a、b、c的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用指对函数的单调性即可比较大小.【详解】解：因为，所以，故选：B．【点睛】本题考查了对数值的运算及比较大小，考查指数函数与对数函数的单调性，属简单题.8.已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据垂直于同一直线的两平面平行可知正确.【详解】当时，若，可得又，可知本题正确选项：【点睛】本题考查面面平行的判定，属于基础题.9.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比．这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示．根据折线图和条形图，下列结论错误的是（）A.2012﹣2013年研发投入占营收比增量相比2017﹣2018年增量大B.该企业连续12年研发投入逐年增加C.2015﹣2016年研发投入增值最大D.该企业连续12年研发投入占营收比逐年增加【答案】D【解析】【分析】根据图形给出的信息，分析判断即可．【详解】从研发投入占营收比（图中的红色折线）07～09年有所下降并非连续12年研发投入占营收比逐年增加，故D错．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查识图能力，考查分析问题解决问题的能力，属基础题．10.函数的部分图象大致是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据的奇偶性排除；判断时，的符号可排除，从而得到结果.【详解】定义域为：为奇函数，可排除；当时，，可排除，从而可得正确本题正确选项：【点睛】本题考查具体函数图象的识别问题，解题常用方法为排除法，排除法验证的顺序通常为：奇偶性、特殊值、单调性.11.已知O为坐标原点，抛物线上一点A到焦点F的距离为4，若点P为抛物线C准线上的动点，则的最小值为（）A.B.8C.D.【答案】A【解析】【分析】由已知条件，结合抛物线性质求出A点坐标，求出坐标原点关于准线的对称点的坐标点B，由，知的最小值为，由此能求出结果．【详解】解：抛物线的准线方程为，∵，∴A到准线的距离为4，即A点的横坐标为2，∵点A在抛物线上，∴A的坐标∵坐标原点关于准线的对称点的坐标为，∴，∴的最小值：．故选：A．【点睛】本题主要考查抛物线的相关知识．两条线段之和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．12.已如函数，若，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题可根据题意及画出的分段函数的图象确定出，然后可将和代入到确定的表达式，得到和的关系式，再用表示，则可只用表达，再构造函数与的表达式一致，通过求导方法判断出的值域即可得到的取值范围．【详解】解：根据题意，画出分段函数图象如下：由两个函数图象及题意，可知：不可能同时大于1，也不可能同时小于1．否则不满足∴，∴，∵，∴，∴，，．构造函数，．则．∵，∴，∴，∴，∴．∴．∴在上是单调递增函数．∴．∴．∴．故选：C．【点睛】本题主要考查函数与导数的相关知识，以及通过构造函数并求导确定该函数的单调性求二元函数的函数取值问题．本题属中档题．二、填空题.13.已知函数的最小正周期为，则＝_____，若，则＝____．【答案】(1).2(2).【解析】【分析】由题意利用正弦函数的周期性求得ω，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sin2α的值．【详解】由周期公式，可得ω=2，由，得，所以，平方得，∴故答案为：2；．【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．14.已知矩形，以为焦点，且过两点的双曲线的离心率为_______．【答案】【解析】【分析】根据为焦点，得；又求得，从而得到离心率.【详解】为焦点在双曲线上，则又本题正确结果：【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题.15.我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为24π．其中正确的描述为____．【答案】①②④【解析】【分析】由三视图还原几何体，可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA＝2，底面ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，然后逐一分析四个命题得答案．【详解】由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面ABCD为矩形，AB=2，BC=4，则四个侧面是直角三角形，故①正确；最长棱为PC，长度为2，故②正确；由已知可得，PB=2，PC=2，PD=2，则四个侧面均不全等，故③错误；把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为PC=，其表面积为4π×=24π，故④正确．∴其中正确的命题是①②④．故答案为：①②④．【点睛】本题考查由三视图还原原几何体，考查多面体外接球表面积与体积的求法，是中档题．16.已知数列中，，则＝_____【答案】【解析】【分析】根据递推公式，可配凑出，从而得到为等差数列，通过求解前项和求得结果.【详解】可知：数列为等差数列，首项为，公差本题正确结果：【点睛】本题考查利用数列递推公式求解数列前项和问题，关键是能够采用倒数法，将递推公式整理为等差数列定义式的形式，从而配凑出等差数列，利用等差数列相关知识求解得到结果.三、解答题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，，．（1）若，求的面积；（2）若点D在BC边上且，AD＝BD，求BC的长．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）通过正弦定理求出BC，然后求解三角形的面积；（2）设出DC，然后通过余弦定理转化求解即可．【详解】（1）由正弦定理得：，所以sinC=1，，所以，所以．（2）设DC=x，则BD=2x，由余弦定理可得解得：所以．【点睛】本题考查解三角形的相关知识．正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化能力与计算能力．18.某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]分组）．分组频数[55，65）2[65，75）4[75，85）10[85，95]4合计20第一车间样本频数分布表（Ⅰ）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；（Ⅱ）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中随机抽取2人，求抽取的2人中，至少1人生产时间小于65min的概率．【答案】(Ⅰ)第一车间60人，第二车间300人(Ⅱ)第二车间工人生产效率更高(Ⅲ)【解析】【分析】（I）根据频率分布直方图和频率分布表计算第一、第二车间生产时间小于的人数；（II）分别计算第一、第二车间生产时间平均值，比较大小即可；（III）由题意利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【详解】解：（I）估计第一车间生产时间小于的人数为（人），估计第二车间生产时间小于的人数为（人）；（II）第一车间生产时间平均值约为（），第二车间生产时间平均值约为（）；∵，∴第二车间工人生产效率更高；（III）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于的工人有6人，其中生产时间小于的有2人，分别用、代表生产时间小于的工人，用、、、代表生产时间大于或等于，且小于的工人；抽取2人基本事件空间为共15个基本事件；设事件A＝“2人中至少1人生产时间小于”，则事件共9个基本事件；∴．【点睛】本题考查了频率分布直方图与频率分布表的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率应用问题，是基础题．19.如图，等腰梯形ABCD中，，E为CD中点，以AE为折痕把折起，使点D到达点P的位置（P平面ABCE）．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）当四棱锥体积最大时，求点C到平面PAB的距离．【答案】证明见解析；.【解析】【分析】通过等腰梯形中的长度和平行关系可证得，可知翻折后，，从而可得平面，进而证得结论；求解出三棱锥体积后，利用求出结果.【详解】证明：在等腰梯形中，连接，交于点四边形为平行四边形为等边三角形在等腰梯形中，,翻折后可得：又平面，平面，平面平面当四棱锥的体积最大时平面平面又平面平面，平面,平面又设点到平面的距离为【点睛】本题考查立体几何中线线垂直的证明、点到平面距离的求解.在立体几何问题中，证明线线垂直通常采用先证线面垂直，再利用线面垂直性质得到结论；求解点到平面距离的解题方法是利用体积桥的方式建立方程.20.已知函数．（Ⅰ）若函数图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数的极值点；（Ⅱ）若不等式有解，求a的取值范围．【答案】的极小值点为，无极大值点；且.【解析】【分析】求导后可知当时，取最大值，从而求得，得到，根据函数单调性求得极值点；有解，可知，通过导数可得到，设函数，只需，求得，可知且即可，从而得到的取值范围.【详解】当时，取最大值此时在上，，单调递减；在上，，单调递增的极小值点为，无极大值点且在上，，单调递减在上，，单调递增关于不等式有解令在上，，单调递增；在上，，单调递减可知：且的取值范围是且【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，重点考查了利用导数解决能成立问题，关键在于能将能成立的不等式转变为最值与定值的关系，再利用导数求得函数最值，从而求解得到结果.21.如图所示，椭圆离心率为，、是椭圆C的短轴端点，且到焦点的距离为，点M在椭圆C上运动，且点M不与、重合，点N满足．（1）求椭圆C的方程；（2）求四边形面积的最大值．【答案】；.【解析】【分析】根据离心率和的长度