广东省东莞市2019届高三数学下学期第二次调研考试试题文含解析

广东省东莞市2019届高三数学下学期第二次调研考试试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法求得集合A，再利用交集的定义和不等式的性质求解.【详解】集合，.故选A.【点睛】本题主要考查交集运算和一元二次不等式的解法，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用.2.已知复数，其中i为虚数单位，则A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的除法运算求得复数z，再根据模的定义即可求得复数的模。【详解】解：∴即故选：C．【点睛】本题考查复数模的求法，是基础的计算题．3.有24名投资者想到某地投资，他们年龄的茎叶图如图所示，先将他们的年龄从小到大编号为号，再用系统抽样方法抽出6名投资者，邀请他们到实地进行考察其中年龄不超过55岁的人数为A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】求出样本间隔，结合茎叶图求出年龄不超过55岁的有8人，然后进行计算即可．【详解】解：样本间隔为，年龄不超过55岁的有8人，则需要抽取人，故选：B．【点睛】本题主要考查茎叶图以及系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．4.在矩形中，，以，为焦点的双曲线经过，两点，则此双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用双曲线的定义及性质，直接列出关系式求解双曲线的离心率即可．【详解】由题可知，，所以，即，所以此双曲线的离心率为.故选D.【点睛】本题考查双曲线的定义及性质的应用，考查了离心率的求法，考查计算能力．5.圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则圆锥的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥的底面半径、母线长，结合圆锥表面积公式，即可求出答案.【详解】圆锥的轴截面是边长为的正三角形，圆锥的底面半径，母线长；表面积故选C.【点睛】本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的表面积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥轴截面等知识，属于基础题.6.设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的斜率后求解切线方程．【详解】解：函数，若为奇函数，可得，所以函数，可得，曲线在点处的切线的斜率为：，曲线在点处的切线方程为：．故选：C．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力．7.如图，在中，是边的中线，是边的中点，若,则=（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：利用向量的共线定理、平行四边形法则即可得出．详解：∵在中，是边上的中线∴∵是边的中点∴∴∵∴故选B.点睛：本题考查了平面向量的基本定理的应用.在解答此类问题时，熟练掌握向量的共线定理、平行四边形法则是解题的关键．8.将函数的图象向右平移个单位后得到函数，则具有性质A.周期为，最大值为1，图象关于直线对称，为奇函数B.周期为，最大值为1，图象关于点对称，为奇函数C.周期为，最大值为1，在上单调递减，为奇函数D.周期为，最大值为1，在上单调递增，为奇函数【答案】D【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的平移变换的应用求出结果．【详解】解：函数的图象向右平移个单位后得到，函数，则函数的最小正周期为，函数的最大值为1，函数在上单调递增，并且为奇函数．故选：D．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，属于基础题．9.已知一个四棱锥的正主视图和俯视图如图所示，其中，则该四棱锥的高的最大值为A.B.C.4D.2【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形得出平面平面ABCD，点P到AD的距离x最大时，四棱锥的体积最大，由此求出x的最大值以及四棱锥的高的最大值．【详解】解：如图所示，由题意知，平面平面ABCD，设点P到AD的距离为x，当x最大时，四棱锥的高最大，因为，所以点P的轨迹为一个椭圆，由椭圆的性质得，当时，x取得最大值，即该四棱锥的高的最大值为．故选：A．【点睛】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了数形结合思想与转化思想的应用问题，是基础题．10.若的面积为，且为钝角，则的度数以及的取值范围为A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可得，可求，进而可求B，然后由正弦定理可，，展开后利用正切函数的性质可求范围．【详解】解：由余弦定理可得，，，，，，由正弦定理可得，，，故选：C．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的综合应用，属于中档试题．11.在正方体中，E是侧面内的动点，且平面，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系利用向量法求出直线与直线AB所成角的正弦值的最小值．【详解】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为1，设0，，，，1，，1，，0，，1，，，1，，1，，设平面的法向量y，，则，取，得，平面，，解得，，，设直线与直线AB所成角为，1，，，，，．直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是．故选：B．【点睛】本题考查线线角的正弦值的最小值的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，函数与方程思想，是中档题．12.设函数，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知，为偶函数，再求得在上连续且单调递增，由，转化得，解不等式即可求出解集.【详解】为偶函数，当时，，，且均为增函数在上连续且单调递增，在上连续且单调递减，不等式等价于，解得，解集为故选D.【点睛】本题考查运用函数的奇偶性和单调性解不等式问题，考查学生转化思想和运算能力，有一定难度.已知函数的单调性和奇偶性，解形如的不等式的解法如下：奇偶性单调性转化不等式奇函数区间上单调递增区间上单调递减偶函数对称区间上左减右增对称区间上左增右减简言之一句话，将函数值不等式问题转化为自变量不等式问题，二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若函数在区间上的最大值为6，则_______.【答案】4【解析】分析：因为，所以设函数在区间上单调递增，则通过进行求解.详解：因为在区间上单调递增，所以，解得.点睛：本题考查对数函数的单调性和最值，属于基础题.14.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为______．【答案】18【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】解：由约束条件作出可行域如图，，化目标函数为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为18．故答案为：18．【点睛】本题考查简单的线性规划，数形结合的解题思想方法，是中档题．15.若一条倾斜角为且经过原点的直线与圆交于A，B两点，则______．【答案】2【解析】【分析】根据题意，求出直线的方程，分析圆的圆心坐标以及半径，求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案．【详解】解：根据题意，若直线的倾斜角为且经过原点，则其方程为，即，圆，即，其圆心为，半径，圆心到直线的距离，则；故答案为：2．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆的方程，属于基础题．16.在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列满足，，设．求，；判断数列是否为等比数列，并说明理由；求．【答案】（1），；（2）是等比数列，理由详见解析；（3）.【解析】【分析】直接利用赋值法求出数列的，项．利用定义进行证明数列为等比数列．利用和的结论，利用数列的前n项和公式的应用求出结果．【详解】解：数列满足，，当时，，解得：．当时，解得：．当时，，所以：．则数列为以2为首项，2为公比的等比数列．由和得：，所以：，，，．【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和的应用，主要考查运算能力和转化能力，属于基础题型．18.在四棱锥中，，平面平面，.，是上一点.(1)证明：平面平面；(2)若是正三角形，且是中点，求三棱锥的体积.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（1）推导出AB⊥AC，从而AB⊥平面PAC，由此能证明平面EAB⊥平面PAC；（2）推导出AB⊥平面PAC，三棱锥A﹣EBC的体积为VA﹣EBC=VB﹣EAC，由此能求出结果．解析：(1)证明：依题意得四边形是底角为的等腰梯形，∴，∵，∴，∴，∴.∵平面平面，平面平面，∴平面.又平面，∴平面平面.(2)由(1)及已知得，在中，，，∴，且，又平面，∴是三棱锥的高.∵是中点，∴.∴三棱锥的体积为.19.某机构组织语文、数学学科能力竞赛，每个考生都参加两科考试，按照一定比例淘汰后，按学科分别评出一二三等奖．现有某考场的两科考试数据统计如下，其中数学科目成绩为二等奖的考生有人．（Ⅰ）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；（Ⅱ）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图（如图），求两类样本的平均数及方差并进行比较分析；（Ⅲ）已知该考场的所有考生中，恰有人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率．【答案】（1）4（2）数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差．（3）【解析】试题分析：（Ⅰ）由数学成绩为二等奖的考生人数及频率，可求得总人数，再利用对立事件的概率公式求出该考场考生中语文成绩为一等奖的频率，与总人数相乘即可得结果（Ⅱ）分别利用平均值公式与方差公式求出数学和语文二等奖的学生两科成绩的平均值与方差，可得数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差；（Ⅲ）利用列举法求得随机抽取两人的基本事件个数为个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件共个，利用古典概型概率公式可得结果.试题解析：（Ⅰ）由数学成绩为二等奖的考生有人，可得，所以语文成绩为一等奖的考生人（Ⅱ）设数学和语文两科的平均数和方差分别为，，，,,因为,，所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差.（Ⅲ）两科均为一等奖共有人，仅数学一等奖有人，仅语文一等奖有人----9分设两科成绩都是一等奖的人分别为，只有数学一科为一等奖的人分别是,只有语文一科为一等奖的人是，则随机抽取两人的基本事件空间为,共有个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件共个，所以两人的两科成绩均为一等奖的概率.20.已知直线的方程为，点是抛物线上到直线距离最小的点.(1)求点的坐标；(2)若直线与抛物线交于两点，的重心恰好为抛物线的焦点.求的面积.【答案】(1)点坐标为，（2）【解析】【分析】设点的坐标，运用点到直线距离求出最小值时的结果设结合已知焦点是的重心计算出直线，求出点到直线的距离为高，从而计算出面积【详解】(1)设点的坐标为，则，所以，点到直线的距离：，得当且仅当时取最小值，此时点坐标为.(2)抛物线的焦点的坐标为，设线段的中点为，由三角形重心的性质知，又，所以，古得，即的坐标为，设，则，且，，以上两式相减得，所以，故直线的方程为，经检验，符合题意，即直线的方程为：，联立抛物线得，所以，且点到直线的距离为，所以的面积为.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，在计算过程中需要运用点到直线的距离公式计算点线距的最小值及三角形面积时的高，本