广东省广州市天河区2020届高三数学一模试卷理科学生版解析版

-1-2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|60}Axxx，集合{|1}Bxx，则()(RABð)A．[3，)B．(1，3]C．(1,3)D．(3,)2．（5分）设复数z满足(2)34ziii，则复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）设等差数列{}na的前n项和为nS，若28515aaa，则9S等于()A．18B．36C．45D．604．（5分）已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若//m，//n，则//mnB．若，，则//C．若//m，//n，且m，n，则//D．若m，n，且，则mn5．（5分）2521(2)(1)xx的展开式的常数项是()A．3B．2C．2D．36．（5分）已知1112xn，122xe，3x满足33xelnx，则下列各选项正确的是()A．132xxxB．123xxxC．213xxxD．312xxx7．（5分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是-2-一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法．例如：3可表示为“”，26可表示为“”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为()A．13B．14C．15D．168．（5分）在矩形ABCD中，3AB，4AD，AC与BD相交于点O，过点A作AEBD，垂足为E，则(AEEC)A．725B．1225C．125D．144259．（5分）函数2()(1)sin1xfxxe图象的大致形状是()A．B．C．D．10．（5分）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是()-3-A．36B．24C．72D．14411．（5分）已知函数()sin(2)6fxx，若方程3()5fx的解为1x，212(0)xxx，则12sin()(xx)A．35B．45C．23D．3312．（5分）已知函数244()()xfxklnxkx，[4k，)，曲线()yfx上总存在两点1(Mx，1)y，2(Nx，2)y，使曲线()yfx在M，N两点处的切线互相平行，则12xx的取值范围为()A．8(,)5B．16(,)5C．8[,)5D．16[,)5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）已知数列{}na满足11a，111(*,2)nnaaanNn…，则当1n…时，na．14．（5分）设当x时，函数()sin3cosfxxx取得最大值，则tan()4．15．（5分）已知函数322()fxxaxbxa在1x处有极小值10，则ab．16．（5分）在三棱锥SABC中，2SBSCABBCAC，侧面SBC与底面ABC垂直，则三棱锥SABC外接球的表面积是．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）在锐角ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且3cos2sin()102AA．（1）求角A的大小；-4-（2）若ABC的面积33S，3b．求sinC的值．18．（12分）在等比数列{}na中，公比(0,1)q，且满足42a，232637225aaaaa．（1）求数列{}na的通项公式；（2）设2lognnba，数列{}nb的前n项和为nS，当312123nSSSSn取最大值时，求n的值．19．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为433的菱形，60BCD，AC与BD交于点O，平面FBC平面ABCD，//EFAB，FBFC，233EF．（1）求证：OE平面ABCD；（2）若FBC为等边三角形，点Q为AE的中点，求二面角QBCA的余弦值．-5-20．（12分）某种规格的矩形瓷砖(600600)mmmm根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量()xkg都服从正态分布2(,)N，并把质量在(3,3)uu之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品．（Ⅰ）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查，求至少有1片是废品的概率；（Ⅱ）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为()amm、()bmm，则“尺寸误差”()mm为|600||600|ab，按行业生产标准，其中“优等”、“一级”、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是[0，0.2]、[0.2，0.5]、[0.5，1.0]（正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于1.0mm的瓷砖），每片价格分别为7.5元、6.5元、5.0元．现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下：尺寸误差00.10.20.30.40.50.6频数103030510510（甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率．（Ⅰ）记甲厂该种规格的2片正品瓷砖卖出的钱数为（元)，求的分布列及数学期望()E．（Ⅱ）由如图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36元的概率．附：若随机变量Z服从正态分布2(,)N，则(33)0.9974pZ；100.99740.9743，40.80.4096，580.32768．-6-21．（12分）已知函数()1()afxlnxxaaRx．（1）求函数()fx的单调区间；（2）若存在11,xxfxxx使成立，求整数a的最小值．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为cos3sin(sin3cosxy为参数），坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()26．（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）直线l与y轴的交点为P，经过点P的动直线m与曲线C交于A、B两点，证明：||||PAPB为定值．-7-[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()|1||2|()fxxxmmR．（1）若2m时，解不等式()3fx„；（2）若关于x的不等式()|23|fxx„在[0x，1]上有解，求实数m的取值范围．-8-2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|60}Axxx，集合{|1}Bxx，则()(RABð)A．[3，)B．(1，3]C．(1,3)D．(3,)【解答】解：{|23}Axx，{|2RAxx„ð或3}x…，(){|3}[3RABxx…ð，)．故选：A．2．（5分）设复数z满足(2)34ziii，则复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：设复数zabi，(2)(2)3423ziiaibib，4a；4a，5b；复数45zi，45zi，复数z在复平面内对应的点位于第二象限．故选：B．3．（5分）设等差数列{}na的前n项和为nS，若28515aaa，则9S等于()A．18B．36C．45D．60【解答】解：28515aaa，-9-55a，9592452Sa．故选：C．4．（5分）已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若//m，//n，则//mnB．若，，则//C．若//m，//n，且m，n，则//D．若m，n，且，则mn【解答】解：由m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，知：在A中，若//m，//n，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若，，则与相交或平行，故B错误；在C中，若//m，//n，且m，n，则与相交或平行，故C错误；在D中，若m，n，且，则线面垂直、面面垂直的性质定理得mn，故D正确．故选：D．5．（5分）2521(2)(1)xx的展开式的常数项是()A．3B．2C．2D．3【解答】解：第一个因式取2x，第二个因式取21x，可得4451(1)5C；第一个因式取2，第二个因式取5(1)，可得52(1)2-10-2521(2)(1)xx的展开式的常数项是5(2)3故选：D．6．（5分）已知1112xn，122xe，3x满足33xelnx，则下列各选项正确的是()A．132xxxB．123xxxC．213xxxD．312xxx【解答】解：依题意，因为ylnx为(0,)上的增函数，所以111102xnln；应为xye为R上的增函数，且0xe，所以1220xe，01e；3x满足33xelnx，所以30x，所以30xe，所以301lnxln，又因为ylnx为(0,)的增函数，所以31x，综上：123xxx．故选：B．7．（5分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法．例如：3可表示为“”，26可表示为“”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为()-11-A．13B．14C．15D．16【解答】解：根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2714个两位数；数字组合3、3，7、7，每组可以表示2个两位数，则可以表示224个两位数；则一共可以表示12416个两位数；故选：D．8．（5分）在矩形ABCD中，3AB，4AD，AC与BD相交于点O，过点A作AEBD，垂足为E，则(AEEC)A．725B．1225C．125D．14425【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示；矩形ABCD中，3AB，4AD，则(0,3)A，(0,0)B，(4,0)C，(4,3)D；直线BD的方程为34yx；-12-由AEBD，则直线AE的方程为433yx，即433yx；由34433yxyx，解得36252725xy，36(25E，27)25所以36(25AE，48)25，64(25EC，27)25，所以36644827144()()2525252525AEEC．故选：D．9．（5分）函数2()(1)sin1xfxxe图象的大致形状是()A．B．C．D．【解答】解：21()(1)sinsin11xxxefxxxee，则111()sin()(sin)sin()1