广东省广州市天河区高考数学一模试卷理科

第1页（共24页）2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x﹣1＞0}，则（∁RA）∩B＝（）A．（1，3）B．（1，3]C．[3，+∞）D．（3，+∞）2．（5分）设复数z满足（z+2i）•i＝3﹣4i，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a8＝15﹣a5，则S9等于（）A．18B．36C．45D．604．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，n∥α，且m⊂β，n⊂β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n5．（5分）（x2+2）（）5的展开式的常数项是（）A．﹣3B．﹣2C．2D．36．（5分）已知x1＝1n，x2＝e，x3满足e＝lnx3，则下列各选项正确的是（）A．x1＜x3＜x2B．x1＜x2＜x3C．x2＜x1＜x3D．x3＜x1＜x27．（5分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1～9这9数字表示两位数的个数为（）A．13B．14C．15D．16第2页（共24页）8．（5分）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E，则＝（）A．B．C．D．9．（5分）函数图象的大致形状是（）A．B．C．D．10．（5分）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A．72B．60C．36D．2411．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x﹣），若方程f（x）＝的解为x1，x2（0＜x1＜x2＜π），则sin（x1﹣x2）＝（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝（k+）lnx+，k∈[1，+∞），曲线y＝f（x）上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2）使曲线y＝f（x）在M、N两点处的切线互相平行，则x1+x2的取值范围为（）A．[4，+∞）B．（4，+∞）C．[）D．（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，an＝1+a1+…+an﹣1（n∈N*，n≥2），则当n≥1时，an＝．第3页（共24页）14．（5分）设当x＝θ时，函数f（x）＝sinx+cosx取得最大值，则tan（θ+）＝．15．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝1处有极小值10，则a﹣b＝．16．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，SB＝SC＝AB＝BC＝AC＝2，侧面SBC与底面ABC垂直，则三棱锥S﹣ABC外接球的表面积是．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且cos2A+sin（﹣A）+1＝0．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积S＝3，b＝3．求sinC的值．18．（12分）在等比数列{an}中，公比q∈（0，1），且满足a4＝2，a32+2a2a6+a3a7＝25．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当取最大值时，求n的值．19．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为的菱形，∠BCD＝60°，AC与BD交于点O，平面FBC⊥平面ABCD，EF∥AB，FB＝FC，EF＝．（1）求证：OE⊥平面ABCD；（2）若△FBC为等边三角形，点Q为AE的中点，求二面角Q﹣BC﹣A的余弦值．20．（12分）某种规格的矩形瓷砖（600mm×600mm）根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量x（kg）都服从正态分布N（μ，σ2），并把质量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品．（1）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查，求至少有1片是废品的概率；第4页（共24页）（2）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为a（mm）、b（mm），则“尺寸误差”（mm）为|a﹣600|+|b﹣600|，按行业生产标准，其中“优等”、“一级”“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是[0，0.2]、（0.2，0.5]，（0.5，1.0]（正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于1.0mm的瓷砖），每片价格分别为7.5元、6.5元、5.0元，现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率．尺寸误差00.10.20.30.40.50.6频数103030510510（甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表）（i）记甲厂该种规格的2片正品瓷砖卖出的钱数为ξ（元），求ξ的分布列．（ii）由图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36元的概率．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9974；0.997410≈0.9743，0.84＝0.4096，0.85＝0.3276821．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在成立，求整数a的最小值．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐第5页（共24页）标方程为ρcos（）＝2．（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）直线l与y轴的交点为P，经过点P的动直线m与曲线C交于A、B两点，证明：|PA|•|PB|为定值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+m|（m∈R）．（1）若m＝2时，解不等式f（x）≤3；（2）若关于x的不等式f（x）≤|2x﹣3|在x∈[0，1]上有解，求实数m的取值范围．第6页（共24页）2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x﹣1＞0}，则（∁RA）∩B＝（）A．（1，3）B．（1，3]C．[3，+∞）D．（3，+∞）【分析】先确定A，再求出∁RA，而后可求（∁RA）∩B．【解答】解：A＝{x|﹣2＜x＜3}，∁RA＝{x|x≤﹣2或x≥3}，（∁RA）∩B＝{x|x≥3}＝[3，+∞）．故选：C．【点评】此题考查了交、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）设复数z满足（z+2i）•i＝3﹣4i，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则，进行正确的计算即可．【解答】解：设复数z＝a+bi，∴（z+2i）•i＝ai﹣（b+2）＝3﹣4i⇒b+2＝﹣3，a＝﹣4；∴a＝﹣4，b＝﹣5；∴复数z＝﹣4﹣5i，∴，复数在复平面内对应的点位于第二象限．故选：B．【点评】本题考查了复数代数式形式的乘除运算，考查了学生的计算能力，属于基础题．3．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a8＝15﹣a5，则S9等于（）A．18B．36C．45D．60【分析】由等差数列的通项公式知a2+a8＝15﹣a5⇒a5＝5，再由等差数列的前n项和公式知S9＝×2a5．【解答】解：∵a2+a8＝15﹣a5，∴a5＝5，第7页（共24页）∴S9＝×2a5＝45．故选：C．【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用．4．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，n∥α，且m⊂β，n⊂β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n【分析】在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，α与β相交或平行；在D中，由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n．【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在A中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m∥α，n∥α，且m⊂β，n⊂β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．5．（5分）（x2+2）（）5的展开式的常数项是（）A．﹣3B．﹣2C．2D．3【分析】（x2+2）（）5的展开式的常数项是第一个因式取x2，第二个因式取；第一个因式取2，第二个因式取（﹣1）5，故可得结论．【解答】解：第一个因式取x2，第二个因式取，可得＝5；第一个因式取2，第二个因式取（﹣1）5，可得2×（﹣1）5＝﹣2∴（x2+2）（）5的展开式的常数项是5+（﹣2）＝3第8页（共24页）故选：D．【点评】本题考查二项式定理的运用，解题的关键是确定展开式的常数项得到的途径．6．（5分）已知x1＝1n，x2＝e，x3满足e＝lnx3，则下列各选项正确的是（）A．x1＜x3＜x2B．x1＜x2＜x3C．x2＜x1＜x3D．x3＜x1＜x2【分析】本题可以选择0，1两个中间值采用搭桥法处理．【解答】解：依题意，因为y＝lnx为（0，+∞）上的增函数，所以x1＝1n＜ln1＝0；应为y＝ex为R上的增函数，且ex＞0，所以0＜x2＝e，＜e0＝1；x3满足e＝lnx3，所以x3＞0，所以＞0，所以lnx3＞0＝ln1，又因为y＝lnx为（0，+∞）的增函数，所以x3＞1，综上：x1＜x2＜x3．故选：B．【点评】本题考查了指数函数，对数函数的单调性，函数值的大小比较等，属于中档题．7．（5分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1～9这9数字表示两位数的个数为（）A．13B．14C．15D．16【分析】根据题意，分析可得6根算筹可以表示的数字组合，进而分析每个组合表示的两位数个数，由加法原理分析可得答案．【解答】解：根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、第9页（共24页）8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2×7＝14个两位数；数字组合3、3，7、7，每组可以表示2个两位数，则可以表示2×2＝4个两位数；则一共可以表示12+4＝16个两位数；故选：D．【点评】本题考查排列、组合的应用，关键是理解算筹的定义．8．（5分）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E，则＝（）A．B．C．D．