湖南省茶陵县第三中学2020届高三第三次月考数学文试题Word版含答案

绝密★启用前2020届高三第三次月考试卷文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．集合22xyyP，2xyxQ，则P∩Q是A．(0,2),(1,1)B．1,1,2,0C．D．2yy2．在复平面内，复数iiz21对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若sin(π＋α)＝－45，则cos(32π－α)＝()A．－45B．－35C.45D.354．函数()23xfxx的零点所在的区间是（）A(2,1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)5．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则()A．bacB．acbC．cbaD．cab6．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图像，只要将函数y＝cos2x的图像()A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移12个单位D．向右平移12个单位7．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x0∈R，x30－x20＋1≥0C．存在x0∈R，x30－x20＋10D．对任意的x∈R，x3－x2＋108．在等差数列{an}中，前n项和Sn满足S7－S2＝45，则a5＝()A．7B．9C．14D．189．下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.20πB.24πC.28πD.32π10、执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A．2B.32C.53D.8511.凸函数是一类重要的函数，其具有如下性质：若定义在(a，b)上的函数f(x)是凸函数，则对任意的xi∈(a，b)(i＝1,2，…，n)，必有fx1＋x2＋…＋xnn≥fx1＋fx2＋…＋fxnn成立．已知y＝sinx是(0，π)上的凸函数，利用凸函数的性质，当△ABC的外接圆半径为R时，其周长的最大值为（）A.R33B.R32C.R36D.R23312．若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0，12]成立，则a的最小值为()A．0B．－2C．－52D．－3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.曲线y＝2lnx在点(1,0)处的切线方程为.14．已知e1、e2是夹角为2π3的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．15.已知椭圆C：x2a2＋y24＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为。16．定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)12，则满足2f(x)x＋1的x的集合为。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cosC(acosC＋ccosA)＋b＝0.(1)求角C的大小；(2)若b＝2，c＝23，求△ABC的面积．18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E是PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥P­ABD的体积V＝34，求A到平面PBC的距离．19．（本小题满分12分）某市高中某学科竞赛，某区4000名考生的参赛成绩的频率分布直方图如图所示．(1)求这4000名考生的平均成绩x－(同一组中数据用该组区间中点值作代表)；(2)记70分以上(包括70分)为合格，70分以下为不合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关？不合格合格合计男生720女生1020合计4000附：P(K2≥k0)0.0100.0050.001k06.6357.89710.828K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d.20（本小题满分12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；(3)求△F1MF2的面积．21．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax2＋x－xlnx.(1)若a＝0，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(1)＝2，且在定义域内f(x)≥bx2＋2x恒成立，求实数b的取值范围．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cosθ，y＝sinθ(θ为参数)．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝2.(1)将曲线C和直线l化为直角坐标方程；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．23．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．2020届高三10月月考文科数学答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DCABDCCBCCAC二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.2x-y-2=014.4515.2216.1/xx三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.解：(1)∵2cosC(acosC＋ccosA)＋b＝0，∴由正弦定理可得2cosC(sinAcosC＋sinCcosA)＋sinB＝0.∴2cosCsin(A＋C)＋sinB＝0，即2cosCsinB＋sinB＝0，又0°B180°，∴sinB≠0，∴cosC＝－12，又0°C180°，∴C＝120°.(2)由余弦定理可得(23)2＝a2＋22－2×2acos120°＝a2＋2a＋4，又a0，∴解得a＝2，∴S△ABC＝12absinC＝3，∴△ABC的面积为3.18．解：(1)证明：设BD与AC的交点为O，班次姓名座位号连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点，又E为PD的中点，所以EO∥PB.EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)VP­ABD＝16PA·AB·AD＝36AB.由VP­ABD＝34，可得AB＝32.作AH⊥PB交PB于H.由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，PB∩BC＝B，故AH⊥平面PBC.又AH＝PA·ABPB＝31313.所以A到平面PBC的距离为31313.19．(1)由题意，得：中间值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1x－＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)．所以这4000名考生的平均成绩x－为70.5分．(2)2×2列联表如下：不合格合格合计男生72011801900女生108010202100合计180022004000K2＝4000720×1020－1180×108021800×2200×1900×2100＝4000×540000218×22×19×21×108＝4000×54×5418×22×19×21≈73.8210.828.故有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关．20.【解析】(1)∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.∵过点P(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，∴kMF1＝，kMF2＝，kMF1·kMF2＝＝－.∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，∴·＝0.法二：∵＝(－3－2，－m)，＝(2－3，－m)，∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2.∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0.∴·＝0.(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，由(2)知m＝±.∴△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝×4×＝6.21．解：(1)当a＝0时，f(x)＝x－xlnx，函数定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝－lnx，由－lnx＝0，得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)0，f(x)在(0,1)上是增函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，f(x)在(1，＋∞)上是减函数．所以函数f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1，＋∞)．(2)由f(1)＝2，得a＋1＝2，∴a＝1，∴f(x)＝x2＋x－xlnx，由f(x)≥bx2＋2x，得x2＋x－xlnx≥bx2＋2x，又∵x0，∴b≤1－1x－lnxx恒成立．令g(x)＝1－1x－lnxx，可得g′(x)＝lnxx2，∴g(x)在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝0，∴实数b的取值范围是(－∞，0]．22.解(1)由x＝3cosθ，y＝sinθ，得x23＋y2＝1,所以曲线C的直角坐标方程为x23＋y2＝1.由ρsin(θ＋π4)＝2，得ρ(sinθcosπ4＋cosθsinπ4)＝2，化简得ρsinθ＋ρcosθ＝2，所以x＋y＝2.所以直线l的直角坐标方程为x＋y＝2.(2)(方法一)由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为(3cosθ，sinθ)，点Q到直线l的距离为d＝|3cosθ＋sinθ－2|2＝|2cosθ－π6－2|2.当cos(θ－π6)＝－1时，dmax＝42＝22.所以点Q到直线l的距离的最大值为22.(方法二)设与直线l平行的直线l′的方程为x＋y＝m，由x＋y＝m，x23＋y2＝1，消去y得4x2－6mx＋3m2－3＝0，令Δ＝(6m)2－4×4×(3m2－3)＝0,解得m＝±2.所以直线l′的方程为x＋y＝－2，即x＋y＋2＝0.所以两条平行直线l与l′之间的距离为d＝|2＋2|2＝22.所以点Q到直线l的距离的最大值为22.23.解：(1)当a＝1时，f(x)＝2x＋4，x≤－1，2，－1x≤2，－2x＋6，x2.可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．