湖南省衡阳市第八中学2020届高三数学上学期第二次9月月考试题理

湖南省衡阳市第八中学2020届高三数学上学期第二次（9月）月考试题理注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设,aRi为虚数单位.若复数2(1)zaai是纯虚数，则复数3aii在复面上对应的点的坐标为（）3,2A.（-）32B.（，-）3,1C.（）31D.（，）2．已知集合2222log4,3200AxyxBxxmxmm，若BA，则实数m的取值范围为（）A．4，B．4，C．2，D．2，3．已知31sin,cos,,43为锐角，则sin的值为（）A．372212B．321412C．372212D．3214124．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，前九个节气日影长之和为85．5尺，则立夏日影长为（）A．1．5尺B．2．5尺C．3．5尺D．4．5尺5．已知函数22,2()1(3),24xxfxxx，则定积分41()fxdx的值为()A．948B．144C．12D．3246．已知6cos()43，则sin2的值为（）A．13B．23C．13D．2327．若定义在上的偶函数满足且时，，则方程5()logfxx的零点个数是（）A．个B．个C．个D．个8．已知抛物线C：24yx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4FPFQ，则QF=（）A．52B．2C．32D．19．已知函数32()31fxaxx，若()fx存在唯一的零点0x，且00x，则a的取值范围是()A．2,B．1,C．,2D．,110．设函数f(x)＝sin(2x＋π4)9[0,]8x，若方程f(x)＝a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，则x1＋2x2＋x3的值为()A．πB.3π4C.3π2D.7π411．已知函数2()1(0)xfxxex与)ln(2axxxg图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A.)1,(eB.),(eC.(,1)D.(1,)e12.设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝cn＋an2，cn＋1＝bn＋an2，则()A．{Sn}为递减数列B.{Sn}为递增数列C.{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D.{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列二、填空题：本题共4小题，每小题5分。13．()ln,fxxx设函数()fx图像上点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是____.14．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝a＋mb(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.15．已知cba,,分别为ABC三个内角CBA,,的对边，a=1，且(1)(sinsin))sin,bABcbC（则ABC面积的最大值为____________．16．已知函数23fxxx，xR．若方程10fxax恰有3个互异的实数根，则实数a的取值集合为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题满分12分）已知函数f(x)＝sin(ωx+π6)＋b.(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝π6对称，且ω∈[0,3]，求函数f(x)的单调递增区间；(2)在(1)的条件下，当x∈0，7π12时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围．18.（本小题满分12分）衡阳市八中学生食堂的伙食质量在广大同学中有口皆碑，高三某同学尤其爱吃肉包。他一直在八中二食堂买肉包，面点师声称卖给学生的包子平均质量是100g,上下浮动0.5g.在这位同学眼中，这运用数学语言表达就是：肉包的质量服从期望为100g,标准差为0.5g的正态分布。（1）假设面点师没有撒谎，现该同学从该食堂任意买两个肉包，求每个肉包的质量均不少于100g的概率。（2）出于兴趣，该同学每天将买来的肉包称重并记录得到25个肉包质量（X）的数据（单位：g）如下表：98.397.296.6101.0100.895.495.296.996.899.8101.199.799.2100.1100.695.795.096.997.197.595.295.998.7100.096.1设从这25个肉包中任取2个，其质量不少于100g的肉包个数记为η，求η的分布列及E（η）；（3）该同学计算这25个肉包质量(X)的平均值x=97.872g,标准差是2.016g,他认定面点师在制作过程中偷工减料，并果断举报给学校后勤部门。食堂管理人员对面点师做了惩罚，面点师也承认自己的错误,并同意作出改正。该同学在接下来的一段时间里每天都去该食堂买肉包。他又认真记录了25个肉包的质量，并算得他们的平均值为100.26g,标准差是0.508g.于是该同学又一次将面点师举报了。请你根据两次平均值和标准差的计算结果及其统计学意义，说说该同学又一次举报的理由。19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，PA底面ABCD，ADAB，ABCD,AD=DC=AP=2,AB=1.点为棱的中点。4（1）证明：PD面ABE；（2）若为棱上一点，满足BFAC，求二面角的余弦值。20．（本小题满分12分）如图，曲线C由上半椭圆22122:1(0,0)yxCabyab和部分抛物线22:1Cyx0y连接而成，12,CC的公共点为,AB，其中1C的离心率为32.（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）过点B的直线l与12,CC分别交于,PQ（均异于点,AB），若PAQ为钝角，，求直线l的斜率的范围.21．（本小题满分12分）已知函数2()8lnfxxxax．(1)当1x时，()fx取得极值，求的值．(2)当函数()fx有两个极值点12,xx12()xx，且1x1时总有21111ln(2)(43)1axmxxx成立，求m的取值范围．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．选修4一4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2cos(sinxy参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C是圆心的极坐标为（7,2）且经过极点的圆（1）求曲线C1的极坐标方程和C2的普通方程；（2）已知射线(0)3分別与曲线C1，C2交于点A，B（点B异于坐标原点O），求线段AB的长.23．选修4一5：不等式选讲：（10分）已知函数()|2|fxkx，kR，且(2)0fx的解集为[1,1].（1）求k的值；（2）若a，b，c是正实数，且111123kakbkc，求证：1231999abc.启慧.衡阳市八中2020届高三月考（二）数学（理科）答案题号123456789101112答案BDDDCCDCACCB13．42（，）14.m=1215．3416．1,9．【解析】试题分析：（方法一）在同一坐标系中画23fxxx和1gxax的图象（如图），问题转化为fx与gx图象恰有三个交点．当1yax与23yxx（或1yax与23yxx）相切时，fx与gx图象恰有三个交点．把1yax代入23yxx，得231xxax，即230xaxa，由0，得2340aa，解得1a或9a．（方法二）显然1a，∴231xxax．令1tx，则．∵4,44,tt，∴45,19,tt．结合图象可得1a或9a。6考点：方程的根与函数的零点．17、解：(1)∵函数f(x)＝sin(ωx+π6)＋b，且函数f(x)的图象关于直线x＝π6对称，∴ω·π6＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，且ω∈[0,3]，∴ω＝2.由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)，∴函数f(x)的单调递增区间为kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．(2)由(1)知f(x)＝sin2x＋π6＋b.∵x∈0，7π12，∴2x＋π6∈π6，4π3.当2x＋π6∈π6，π2，即x∈0，π6时，函数f(x)单调递增；当2x＋π6∈π2，4π3，即x∈π6，7π12时，函数f(x)单调递减．又f(0)＝fπ3，∴当fπ3＞0≥f7π12或fπ6＝0时，函数f(x)有且只有一个零点，即sin4π3≤－b＜sin5π6或1＋b＝0，∴13(,]122.故实数b的取值范围为13(,]122.18、（1）由已知可得该同学从该食堂购买任意一个肉包，其质量不少于100g的概率为12，所以该同学从该食堂任意购买2个肉包，其质量不少于100g的肉包数概率为111224。（2）η的取值可以是0,1,2.P（η=0）=19183420.572524600P（η=1）=1966192280.3825242524600P（η=2）650.052524η012P0.570.380.05（3）该同学经过仔细思考，认为标准差代表了肉包重量的误差，可以理解成面点师手艺的精度，这个数字在短时间内很难改变，这对面包师的手艺是个巨大的飞越，显然并不合理，该同学断定只能是随机性出现了问题．也就是肉包的来源不是随机的，而是人为设定的，最大的可能就是每当该同学到来时，面点师从现有肉包中挑选一个较大的给了该同学，而面点师的制作方式根本没有改变．肉包质量的平均值从97.872g提高到了100.26g也充分说明了这一点.19．(1)证明见解析.(2).详解：依题意，以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系如图，可得由为棱的中点，得（1）向量故,又AB面PAD.所以AB面PD。故PD面ABE（2）由点在棱上，设故由，得因此，即设为平面的法向量，则，即不妨令，可得为平面的一个法向量取平面的法向量，则8所以二面角的余弦值为点睛：本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．(Ⅰ)2,1ab;(Ⅱ)8153kk且.【解析】1）由上半椭圆22122:1(0,0)yxCabyab和部分抛物22:10Cyxy公共点为,AB，得1b，设2C的半焦距为c，由32cea及2221acb，解得2a；（2）由（1）知，上半椭圆1C的方程为22104yxy，1,0B，易知，直线l与x轴不重合也不垂直，故可设其方程为10ykxk，并代入1C的方程中，整理得：22224240kxkxk，