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小明文库页（共16页）2016-2017学年上海中学高一（上）期末数学试卷一.填空题1．（3分）函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是．2．（3分）函数f（x）=x2（x≥1）的反函数f﹣1（x）=．3．（3分）若幂函数f（x）的图象经过点，则该函数解析式为f（x）=．4．（3分）若对任意不等于1的正数a，函数f（x）=ax+2﹣3的图象都过点P，则点P的坐标是．5．（3分）已知f（x）=ax2+bx是定义在[a﹣3，2a]上的偶函数，那么a=，b=．6．（3分）方程log2（x+1）2+log4（x+1）=5的解是．7．（3分）已知符号函数sgn（x）=，则函数y=sgn（|x|）+|sgn（x）|的值域为．8．（3分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2+x，则函数f（x）的解析式为f（x）=．9．（3分）函数的单调增区间为．10．（3分）设函数y=f（x）存在反函数f﹣1（x），若满足f（x）=f﹣1（x）恒成立，则称f（x）为“自反函数”，如函数f（x）=x，g（x）=b﹣x，（k≠0）等都是“自反函数”，试写出一个不同于上述例子的“自反函数”y=．11．（3分）方程x2+2x﹣1=0的解可视为函数y=x+2的图象与函数的图象交点的横坐标，若方程x4+ax﹣4=0的各个实根x1，x2，…，xk（k≤4）所对应的点（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是．12．（3分）对于函数y=f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y=f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数y=f（x）在定义域D上封闭．如果函数小明文库页（共16页）（k≠0）在R上封闭，那么实数k的取值范围是．二.选择题13．（3分）已知f（x）=ax3+bx+1（ab≠0），若f（2013）=k，则f（﹣2013）=（）A．kB．﹣kC．1﹣kD．2﹣k14．（3分）定义在R上的函数f（x）在区间（﹣∞，2）上是增函数，且f（x+2）的图象关于x=1对称，则（）A．f（1）＜f（5）B．f（1）＞f（5）C．f（1）=f（5）D．f（0）=f（5）15．（3分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油16．（3分）设函数若关于x的方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，3）C．[﹣3，3）D．（﹣3，3]小明文库页（共16页）三.解答题17．在平面直角坐标系中，作出下列函数的图象；（1）；（2）．18．已知集合D={x|32x﹣10•3x+2+36≤0，x∈R}，求函数（x∈D）的值域．19．设函数f（x）=k•ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若，且函数g（x）=a2x﹣a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．20．已知函数；（1）当m=2时，判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性并证明；（2）若对任意x∈R，不等式f（2x）＞0恒成立，求m的取值范围；（3）讨论函数y=f（x）的零点个数．21．已知a∈R，函数f（x）=log2[（a﹣3）x+3a﹣4]；（1）当a=2时，解不等式；（2）若函数y=f（x2﹣4x）的值域为R，求a的取值范围；（3）若关于x的方程解集中恰好只有一个元素，求a的取值范围．小明文库页（共16页）2016-2017学年上海中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（﹣，1）．【解答】解：由，解得：﹣．∴函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（﹣，1）．故答案为：（﹣，1）．2．（3分）函数f（x）=x2（x≥1）的反函数f﹣1（x）=（x≥1）．【解答】解：由y=x2（x≥1），解得x=（y≥1），把x与y互换可得：y=，∴f（x）=x2（x≥1）的反函数f﹣1（x）=（x≥1）．故答案为：（x≥1）．3．（3分）若幂函数f（x）的图象经过点，则该函数解析式为f（x）=．【解答】解：设幂函数f（x）=xa，其图象经过点，∴27a=，解得a=﹣；∴函数f（x）=．故答案为：．小明文库页（共16页）4．（3分）若对任意不等于1的正数a，函数f（x）=ax+2﹣3的图象都过点P，则点P的坐标是（﹣2，﹣2）．【解答】解：指数函数恒过定点（0，1），据此可令x+2=0，解得：x=﹣2，f（﹣2）=a﹣2+2﹣3=﹣2，即函数f（x）=ax+2﹣3恒过定点（﹣2，﹣2）．故答案为：（﹣2，﹣2）．5．（3分）已知f（x）=ax2+bx是定义在[a﹣3，2a]上的偶函数，那么a=1，b=0．【解答】解：∵f（x）=ax2+bx是定义在[a﹣3，2a]上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴b=0，又a﹣3=﹣2a，∴a=1，故答案1，0．6．（3分）方程log2（x+1）2+log4（x+1）=5的解是3．【解答】解：∵log2（x+1）2+log4（x+1）=5，∴log4（x+1）4+log4（x+1）=5，∴log4（x+1）5=5，∴（x+1）5=45，∴x=3．故答案为：3．7．（3分）已知符号函数sgn（x）=，则函数y=sgn（|x|）+|sgn（x）|的值域为{0，2}．【解答】解：分类讨论：当x＞0时：y=sgn（|x|）+|sgn（x）|=sgn（x）+1=1+1=2；当x=0时：y=sgn（|x|）+|sgn（x）|=sgn（x）+0=0+0=0；小明文库页（共16页）当x＞0时：y=sgn（|x|）+|sgn（x）|=sgn（x）+1=﹣1+1=0；综上可得：函数y=sgn（|x|）+|sgn（x）|的值域为{0，2}．故答案为：{0，2}．8．（3分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2+x，则函数f（x）的解析式为f（x）=．【解答】解：由奇函数的性质可得：f（0）=0，设x＞0，则﹣x＜0，此时有：﹣f（x）=f（﹣x）（﹣x）2+（﹣x）=x2﹣x，则f（x）=﹣x2+x，且当x=0时，﹣x2+x=0，综上可得：函数的解析式为：．9．（3分）函数的单调增区间为（﹣∞，1]和[3，5]．．【解答】解：绘制函数y=|x2﹣6x+5|的图象如图所示：观察函数图象可得函数的单调递增区间为：[1，3]和[5，+∞）单调递减区间为：（﹣∞，1]和[3，5]指数函数y=0.3x在定义域内单调递减，结合复合函数同增异减的原则可得函数的单调递增区间，即函数y=|x2﹣6x+5|的单调递减区间：（﹣∞，1]和[3，5]．故答案为：（﹣∞，1]和[3，5]．小明文库页（共16页）10．（3分）设函数y=f（x）存在反函数f﹣1（x），若满足f（x）=f﹣1（x）恒成立，则称f（x）为“自反函数”，如函数f（x）=x，g（x）=b﹣x，（k≠0）等都是“自反函数”，试写出一个不同于上述例子的“自反函数”y=（0≤x≤1）．【解答】解：根据题意，设函数y=，（0≤x≤1），则y2=1﹣x2，∴x2=1﹣y2，∴x=（0≤y≤1），交换x、y得反函数y=（0≤x≤1），满足题意．故答案为：（0≤x≤1）．11．（3分）方程x2+2x﹣1=0的解可视为函数y=x+2的图象与函数的图象交点的横坐标，若方程x4+ax﹣4=0的各个实根x1，x2，…，xk（k≤4）所对应的点（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是（﹣小明文库页（共16页）∞，﹣6）∪（6，+∞）．【解答】解：方程的根显然x≠0，原方程x4+ax﹣4=0，等价为方程x3+a=，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y=的交点的横坐标；曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到的．若交点（xi，）（i=1，2，k）均在直线y=x的同侧，因直线y=x与y=交点为：（﹣2，﹣2），（2，2）；所以结合图象可得：或，解得a＞6或a＜﹣6，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（6，∞），故答案为：（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）．12．（3分）对于函数y=f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y=f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数y=f（x）在定义域D上封闭．如果函数（k≠0）在R上封闭，那么实数k的取值范围是（1，+∞）．【解答】解：根据题意知方程至少有两个不同实数根；即至少有两个实数根；∴；∴k=1+|x|＞1；小明文库页（共16页）∴实数k的取值范围为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．二.选择题13．（3分）已知f（x）=ax3+bx+1（ab≠0），若f（2013）=k，则f（﹣2013）=（）A．kB．﹣kC．1﹣kD．2﹣k【解答】解：∵f（x）=ax3+bx+1，∴f（x）﹣1=ax3+bx，令F（x）=f（x）﹣1=ax3+bx，∵ab≠0，∴函数F（x）=f（x）﹣1=ax3+bx是奇函数，∴F（﹣2013）=﹣F（2013），即f（﹣2013）﹣1=﹣[f（2013）﹣1]=﹣k+1，∴f（﹣2013）=2﹣k．故选：D．14．（3分）定义在R上的函数f（x）在区间（﹣∞，2）上是增函数，且f（x+2）的图象关于x=1对称，则（）A．f（1）＜f（5）B．f（1）＞f（5）C．f（1）=f（5）D．f（0）=f（5）【解答】解：因为f（x+2）的图象关于x=1对称，所以f（x+2）=f（2﹣x+2）=f（4﹣x），所以f（﹣1+2）=f[（4﹣（﹣1）]，即f（1）=f（5），故选C．15．（3分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）小明文库页（共16页）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【解答】解：对于选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确．16．（3分）设函数若关于x的方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，3）C．[﹣3，3）D．（﹣3，3]【解答】解：作函数的图象如下，小明文库页（共16页），结合图象，A，B，C，D的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，故x1+x2=﹣4，x3x4=1，故=﹣4x3，∵0＜﹣log2x3≤2，∴≤x3＜1，∴