20162017学年江苏省泰州中学高一上期末数学试卷

小明文库页（共12页）2016-2017学年江苏省泰州中学高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题纸上.1．（5分）函数y=的定义域为．2．（5分）函数的最小正周期为．3．（5分）已知函数，f（1）+f（﹣1）=．4．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，8），则f（2）=．5．（5分）把函数y=sinx的图象向左平移个单位长度，所得到的图象的函数表达式为．6．（5分）9=．7．（5分）函数y=sinx+cosx的单调递增区间为．8．（5分）若函数y=sin（πx+φ）过点，则f（0）=．9．（5分）若的夹角为60°，，，则=．10．（5分）在△ABC中，D为边BC上一点，且AD⊥BC，若AD=1，BD=2，CD=3，则∠BAC的度数为．11．（5分）若，则sin2θ=．12．（5分）若锐角α，β满足cos2α+cos2β=1，则=．13．（5分）若方程||x|﹣a2|﹣a=0有四个不同的实根，则实数a的取值范围为．14．（5分）已知函数f（x）=x3+x+1，若对任意的x，都有f（x2+a）+f（ax）＞2，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）小明文库页（共12页）15．（15分）已知集合A={x|2x≥16}，B={x|log2x≥a}．（1）当a=1时，求A∩B；（2）若A是B的子集，求实数a的取值范围．16．（15分）已知向量，．（1）若，求x的值；（2）当x∈[0，2]时，求的取值范围．17．（15分）如图，某儿童公园设计一个直角三角形游乐滑梯，AO为滑道，∠OBA为直角，OB=20米，设∠AOB=θrad，一个小朋友从点A沿滑道往下滑，记小朋友下滑的时间为t秒，已知小朋友下滑的长度s与t2和sinθ的积成正比，当时，小朋友下滑2秒时的长度恰好为10米．（1）求s关于时间t的函数的表达式；（2）请确定θ的值，使小朋友从点A滑到O所需的时间最短．18．（15分）已知函数，x∈R．（1）求函数f（x）的最大值；（2）若，θ∈R，求的值．19．（15分）如图，在△ABC中，，．（1）用，表示；（2）若，，求证：；（3）若，求的值．小明文库页（共12页）20．（15分）已知函数f（x）=﹣x2+2|x﹣a|，x∈R．（1）若函数f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）当x=﹣1时，函数f（x）在x=﹣1取得最大值，求实数a的取值范围．（3）若函数f（x）有三个零点，求实数a的取值范围．小明文库页（共12页）2016-2017学年江苏省泰州中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题纸上.1．（5分）函数y=的定义域为{x|x≥1}．【解答】解：要是函数有意义，须x﹣1≥0，解得x≥1，故函数的定义域为{x|x≥1}．故答案为：{x|x≥1}．2．（5分）函数的最小正周期为．【解答】解：根据题意，函数中，ω=4，则其周期T==；故答案为：3．（5分）已知函数，f（1）+f（﹣1）=1．【解答】解：∵函数，∴f（1）=2，f（﹣1）=﹣1，∴f（1）+f（﹣1）=2﹣1=1．故答案为：1．4．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，8），则f（2）=．【解答】解：∵幂函数y=f（x）=xa的图象过点（，8），∴（）a=8，解得a=﹣3，小明文库页（共12页）∴f（x）=x﹣3，∴f（2）=2﹣3=．故答案为：．5．（5分）把函数y=sinx的图象向左平移个单位长度，所得到的图象的函数表达式为y=sin（x+）．【解答】解：把函数y=sinx的图象向左平移个单位长度，所得到的图象的函数表达式为y=sin（x+），故答案为：．6．（5分）9=4．【解答】解：原式=2+=2+2=4．故答案为：4．7．（5分）函数y=sinx+cosx的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）．【解答】解：∵y=sinx+cosx=（sinx+cosx）=（sinxcos+cosxsin）=sin（x+），∴对于函数y=sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，（k∈Z）可得：函数y=sinx+cosx，x∈R的单调递增区间是[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z），故答案为[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）．8．（5分）若函数y=sin（πx+φ）过点，则f（0）=．小明文库页（共12页）【解答】解：∵函数y=sin（πx+φ）过点，∴1=sin（φ）得：φ=，（k∈Z）φ=．那么：函数y=sin（），当x=0时，可得y=sin（）=sin=．故f（0）=．故答案为：．9．（5分）若的夹角为60°，，，则=．【解答】解：的夹角为60°，，，则=++2||•||•cos60°=1+4+2×1×2×=7，∴=，故答案为：10．（5分）在△ABC中，D为边BC上一点，且AD⊥BC，若AD=1，BD=2，CD=3，则∠BAC的度数为135°．【解答】解：由题意，AB=，AC=，BC=5，由余弦定理可得cos∠BAC==﹣，∵0°＜∠BAC＜180°∴∠BAC=135°，故答案为135°．11．（5分）若，则sin2θ=．小明文库页（共12页）【解答】解：若，∴sin2θ=====，故答案为：．12．（5分）若锐角α，β满足cos2α+cos2β=1，则=．【解答】解：∵sin2α+cos2α=1，cos2α+cos2β=1，∴sin2α=cos2β，又∵α，β是锐角，可得sinα=cosβ，即β+α=那么：=cos=．故答案为：13．（5分）若方程||x|﹣a2|﹣a=0有四个不同的实根，则实数a的取值范围为（1，+∞）．【解答】解：方程||x|﹣a2|﹣a=0，可得方程||x|﹣a2|=a，∴a＞0，∴|x|=a2±a，∵方程||x|﹣a2|﹣a=0有四个不同的实根，∴a2+a＞0且a2﹣a＞0，∴a＞1，故答案为（1，+∞）．14．（5分）已知函数f（x）=x3+x+1，若对任意的x，都有f（x2+a）+f（ax）＞2，则实数a的取值范围是0＜a＜4．【解答】解：构造函数g（x）=f（x）﹣1=x3+x，则函数是奇函数，在R上单调递增，f（x2+a）+f（ax）＞2，等价于g（x2+a）+g（ax）＞0，小明文库页（共12页）∴x2+a＞﹣ax，∴x2+ax+a＞0，∴△=a2﹣4a＜0∴0＜a＜4，故答案为0＜a＜4．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（15分）已知集合A={x|2x≥16}，B={x|log2x≥a}．（1）当a=1时，求A∩B；（2）若A是B的子集，求实数a的取值范围．【解答】解：集合A={x|2x≥16}={x|x≥4}，B={x|log2x≥a}={x|x≥2a}．（1）当a=1时，B={x|x≥2}，故A∩B={x|x≥4}；（2）若A是B的子集，则4≥2a，解得：a≤2．16．（15分）已知向量，．（1）若，求x的值；（2）当x∈[0，2]时，求的取值范围．【解答】解：（1）因为向量，，，所以（2﹣x）（1+x）=1×2，即为x2﹣x=0解得x=0或x=1；（2）因为，，所以，所以，因为x∈[0，2]，当x=时取得最小值﹣，当x=0时，x2﹣3x=0；当x=2时，x2小明文库页（共12页）﹣3x=﹣2，可得最大值为0，所以的取值范围．17．（15分）如图，某儿童公园设计一个直角三角形游乐滑梯，AO为滑道，∠OBA为直角，OB=20米，设∠AOB=θrad，一个小朋友从点A沿滑道往下滑，记小朋友下滑的时间为t秒，已知小朋友下滑的长度s与t2和sinθ的积成正比，当时，小朋友下滑2秒时的长度恰好为10米．（1）求s关于时间t的函数的表达式；（2）请确定θ的值，使小朋友从点A滑到O所需的时间最短．【解答】解：（1）由题意，设S=kt2sinθ，t＞0，当时，S=10，∴，解得：k=5，∴故得S关于时间t的函数的表达式；S=5t2sinθ，t＞0；（2）由题意，∠OBA为直角，∠AOB=θrad，可得：，∴，化简可得：，∴当时，时间t最短．18．（15分）已知函数，x∈R．（1）求函数f（x）的最大值；小明文库页（共12页）（2）若，θ∈R，求的值．【解答】解：（1）函数，x∈R．化简可得：=，∴当时，；（2）由（1）可得f（x）=，∵，∴，即，∴=19．（15分）如图，在△ABC中，，．（1）用，表示；（2）若，，求证：；（3）若，求的值．【解答】解：（1）因为，所以，所以，小明文库页（共12页）证明：（2）因为，所以，即，即，又因为，所以，即．所以，所以，（3）因为，所以，即，因此，同理，又，所以，因为，所以，即①又因为，，所以，所以，即②由①②得．20．（15分）已知函数f（x）=﹣x2+2|x﹣a|，x∈R．（1）若函数f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）当x=﹣1时，函数f（x）在x=﹣1取得最大值，求实数a的取值范围．（3）若函数f（x）有三个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）任取x∈R，则f（﹣x）=f（x）恒成立，即﹣（﹣x）2+2|﹣x﹣a|=﹣x2+2|x﹣a|恒成立，∴|x﹣a|=|x+a|恒成立，两边平方得：x2﹣2ax+a2=x2+2ax+a2，∴a=0；（2），因为函数y=f（x）在x=﹣1时取得最大值，当a≥1时，必须f（﹣1）≥f（a），即1+2a≥﹣a2+2a﹣2a，即（a+1）2≥0，所小明文库页（共12页）以a≥1适合题意；当﹣1＜a＜1时，必须f（﹣1）≥f（1），即1+2a≥1﹣2a，即a≥0，所以0≤a＜1适合题意；当a≤﹣1时，因为f（﹣1）＜f（1），不合题意，综上，实数a的取值范围是[0，+∞）．（3），，，当△1=0时，，此时函数有三个零点1，；当△2=0时，，此时函数有三个零点；当△1＞0，△2＞0时，即时，方程﹣x2+2x﹣2a=0的两根为，方程﹣x2﹣2x+2a=0的两根为，因为，所以且，解得a=0，或者且，此时无解，综上得或0．