小明文库页(共16页)2017-2018学年黑龙江省牡丹江一中高一(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共有12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.)1.(5分)已知θ是锐角,那么2θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.小于180°的正角D.第一或第二象限角2.(5分)点P从点A(1,0)出发,沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达点Q,则点Q的坐标是()A.(﹣,)B.(,)C.(﹣,﹣)D.(﹣,)3.(5分)点A(cos2018°,sin2018°)在直角坐标平面上位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.(5分)已知=,=,=,则()A.A、B、D三点共线B.A、B、C三点共线C.B、C、D三点共线D.A、C、D三点共线5.(5分)已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,则该扇形的面积()A.3B.2C.4D.56.(5分)等边三角形ABC的边长为1,=,=,=,则=()A.3B.﹣3C.D.7.(5分)设sin(+θ)=,则sin2θ=()A.﹣B.﹣C.D.8.(5分)设函数f(x)=|sin(2x+)|,则下列关于函数f(x)的说法中正确的是()A.f(x)是偶函数小明文库页(共16页)B.f(x)最小正周期为πC.f(x)图象关于点(﹣,0)对称D.f(x)在区间[,]上是增函数9.(5分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中)的图象如图所示,为了得到g(x)=sin2x的图象,则只需将f(x)的图象()A.向右平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向左平移个长度单位10.(5分)已知函数的图象过点,若对x∈R恒成立,则ω的最小值为()A.2B.10C.4D.1611.(5分)若sin2α=,sin(β﹣α)=,且α∈[,π],β∈[π,],则α+β的值是()A.B.C.或D.或12.(5分)设θ为两个非零向量,的夹角,已知对任意实数t,|t|的最小值为1,则()A.若θ确定,则||唯一确定B.若||确定,则θ唯一确定C.若θ确定,则||唯一确定D.若θ确定,则θ唯一确定二、填空题(本大题共有4个小题,每小题5分,共20分)13.(5分)已知=(1,0),=(1,1),+λ与垂直,则λ的取值为.14.(5分)=.小明文库页(共16页)15.(5分)已知sin(x+)=,则sin(﹣x)﹣cos(2x﹣)的值为.16.(5分)已知||=||=,且•=1,若点C满足|+|=1,则||的取值范围是.三、解答题(本大题共有6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知tanα=2.(1)求的值;(2)求.18.(12分)(1)已知||=3,||=4,的夹角为,求,;(2)已知||=3,=(1,2),且,求的坐标.19.(12分)已知函数的最大值为3.(1)求常数a的值;(2)求使f(x)>0成立的x的取值集合.20.(12分)已知向量=(m,cos2x),=(sin2x,n),设函数f(x)=•,且y=f(x)的图象过点(,)和点(,﹣2).(Ⅰ)求m,n的值;(Ⅱ)将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图象.若y=g(x)的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调增区间.21.(12分)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cosx的图象经如下变换得到:现将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,(横坐标不变),再讲所得的图象向右平移个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴的方程;(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π]内有两个不同的解α,β,①求实数m的取值范围.小明文库页(共16页)②证明:cos(α﹣β)=﹣1.22.(12分)设向量=(λ+2,λ2﹣cos2α),=(m,+sinαcosα)其中λ,m,α为实数.(Ⅰ)若α=,且⊥,求m的取值范围;(Ⅱ)若=2,求的取值范围.小明文库页(共16页)2017-2018学年黑龙江省牡丹江一中高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共有12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.)1.(5分)已知θ是锐角,那么2θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.小于180°的正角D.第一或第二象限角【解答】解:∵θ是锐角,∴0°<θ<90°∴0°<2θ<180°,∴2θ是小于180°的正角.故选C2.(5分)点P从点A(1,0)出发,沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达点Q,则点Q的坐标是()A.(﹣,)B.(,)C.(﹣,﹣)D.(﹣,)【解答】解:点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,所以∠QOx=,所以Q(cos,sin),即Q点的坐标为:(﹣,).故选:A.3.(5分)点A(cos2018°,sin2018°)在直角坐标平面上位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】解:2018°=5×360°+218°,为第三象限角,小明文库页(共16页)∴sin2018°=sin218°<0,cos2018°=cos218°<0,∴A在第三象限,故选:C.4.(5分)已知=,=,=,则()A.A、B、D三点共线B.A、B、C三点共线C.B、C、D三点共线D.A、C、D三点共线【解答】解:=()+3()=+5,又=,所以,则与共线,又与有公共点B,所以A、B、D三点共线.故选A.5.(5分)已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,则该扇形的面积()A.3B.2C.4D.5【解答】解:∵扇形圆心角1弧度,所以扇形周长和面积为整个圆的.弧长l=2πr•=r,故扇形周长C=l+2r=3r=6cm,∴r=2cm扇形面积S=π•r2•=2cm2.故选:B.6.(5分)等边三角形ABC的边长为1,=,=,=,则=()A.3B.﹣3C.D.小明文库页(共16页)【解答】解:由题意可得,=∴==﹣故选D7.(5分)设sin(+θ)=,则sin2θ=()A.﹣B.﹣C.D.【解答】解:∵sin(+θ)=,∴(sinθ+cosθ)=,∴两边平方,可得:(1+sin2θ)=,解得:sin2θ=﹣,故选:B.8.(5分)设函数f(x)=|sin(2x+)|,则下列关于函数f(x)的说法中正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)最小正周期为πC.f(x)图象关于点(﹣,0)对称D.f(x)在区间[,]上是增函数【解答】解:A.由于f(﹣x)=|sin(﹣2x+)|=|sin(2x﹣)|≠f(x),故A错;B.由于f(x+)=|sin[2(x)+]|=|sin(2x++π)|=|sin(2x+)|=f(x),故f(x)最小正周期为,故B错;C.函数f(x)=|sin(2x+)|的图象小明文库页(共16页)可看作由函数f(x)=|sin2x|的图象平移可得,而函数f(x)=|sin2x|的图象无对称中心,如图,故C错;D.由于函数f(x)=|sin2x|的增区间是[],k∈Z,故函数f(x)的增区间为[],k∈Z,k=1时即为[,],故D正确.故选D.9.(5分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中)的图象如图所示,为了得到g(x)=sin2x的图象,则只需将f(x)的图象()A.向右平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向左平移个长度单位【解答】解:由已知中函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中)的图象,过(,0)点,()点,易得:A=1,T=4()=π,即ω=2即f(x)=sin(2x+φ),将()点代入得:+φ=+2kπ,k∈Z又由小明文库页(共16页)∴φ=∴f(x)=sin(2x+),设将函数f(x)的图象向左平移a个单位得到函数g(x)=sin2x的图象,则2(x+a)+=2x解得a=﹣故将函数f(x)的图象向右平移个长度单位得到函数g(x)=sin2x的图象,故选A10.(5分)已知函数的图象过点,若对x∈R恒成立,则ω的最小值为()A.2B.10C.4D.16【解答】解:函数的图象过点,∴f(0)=sinφ=,∴φ=,∴f(x)=sin(ωx+);又对x∈R恒成立,∴ω•+=2kπ+,k∈Z,即ω=24k+4,k∈Z,∴ω的最小值为4.故选:C.11.(5分)若sin2α=,sin(β﹣α)=,且α∈[,π],β∈[π,],则α+β的值是()A.B.C.或D.或小明文库页(共16页)【解答】解:∵α∈[,π],β∈[π,],∴2α∈[,2π],又0<sin2α=<,∴2α∈(,π),即α∈(,),∴β﹣α∈(,),∴cos2α=﹣=﹣;又sin(β﹣α)=,∴β﹣α∈(,π),∴cos(β﹣α)=﹣=﹣,∴cos(α+β)=cos[2α+(β﹣α)]=cos2αcos(β﹣α)﹣sin2αsin(β﹣α)=﹣×(﹣)﹣×=.又α∈(,),β∈[π,],∴(α+β)∈(,2π),∴α+β=,故选:A.12.(5分)设θ为两个非零向量,的夹角,已知对任意实数t,|t|的最小值为1,则()A.若θ确定,则||唯一确定B.若||确定,则θ唯一确定C.若θ确定,则||唯一确定D.若θ确定,则θ唯一确定【解答】解:令f(t)=|t|2=t2+2t•+2,∴△=4(•)2﹣4•≤0恒成立,小明文库页(共16页)当且仅当t=﹣=﹣cosθ时,f(t)取得最小值1,∴(﹣cosθ)2•+2(﹣cosθ)••+2=1,化简sin2θ=1.∴θ确定,则||唯一确定故选:C二、填空题(本大题共有4个小题,每小题5分,共20分)13.(5分)已知=(1,0),=(1,1),+λ与垂直,则λ的取值为﹣1.【解答】解:∵,∴即∴1+λ=0∴λ=﹣1故答案为﹣114.(5分)=.【解答】解:原式==tan(45°+15°)=tan60°=.故答案为:15.(5分)已知sin(x+)=,则sin(﹣x)﹣cos(2x﹣)的值为.【解答】解:∵sin(x+)=,则sin(﹣x)﹣cos(2x﹣)=sin[2π﹣(x+)]﹣cos2(x+)﹣π]=﹣sin(x+)+cos2(x+)小明文库页(共16页)=﹣sin(x+)+1﹣2=﹣+1﹣=,故答案为:.16.(5分)已知||=||=,且•=1,若点C满足|+|=1,则||的取值范围是[﹣1,+1].【解答】解:∵•=1,∴×cos<>=1,∴cos<>=.∴的夹角为.设,=(,),设=.则==(,),∴||=,∵|+|=1,∴|+﹣|=1,即|﹣|=||=1.∴C在以D为圆心,以1为半径的圆上,∴||的最小值为,||的最大值是+1.故答案为[﹣1,+1].三、解答题(本大题共有6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知tanα=2.(1)求的值;(2)求.小明文库页(共16页)【解答】解:(1)∵tanα=2,∴==;(2)===﹣.18.(12分)(1)已知||=3,||=4,的夹角为,求,;(2)已知||=3,=(1,2),且,求的坐标.【解答】解:(1)∵||=3,||=4,的夹角为,∴=||•||•cos=3×4×=6,∴2=||2+||2﹣2•=9+16﹣2×6=13,∴