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小明文库养正中学、惠安一中、安溪一中联考高三（上）期中数学（理科）一、选择题：1．若集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=coskπ，k∈Z}，则∁MN=（）A．B．0C．{0}D．{﹣1，1}2．已知命题p：∀x＞1，x＞0，命题q：∃x∈R，x3＞3x，则下列命题为真命题的是（）A．p∧qB．p∨（￢q）C．p∧（￢q）D．（￢p）∧q3．设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（）A．﹣1B．﹣C．﹣1或﹣D．24．角α的终边过函数y=loga（x﹣3）+2的定点P，则sin2α+cos2α=（）A．B．C．4D．55．函数f（x）=xsin（x2）的图象大致为（）A．B．C．D．6．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α7．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．68．使y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为（）A．B．C．πD．9．已知三棱锥ABCD的棱长都相等，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．=（）A．B．﹣1C．D．1小明文库．设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx，若x=1是f（x）的极大值点，则a的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）12．若函数f（x）在区间A上，对∀a，b，c∈A，f（a），f（b），f（c）为一个三角形的三边长，则称函数f（x）为“三角形函数”．已知函数f（x）=xlnx+m在区间[，e]上是“三角形函数”，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：13．若幂函数g（x）=（m2﹣m﹣1）xm在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为．14．多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm）．15．已知a，b为正实数，函数f（x）=ax3+bx+2x在[0，1]上的最大值为4，则f（x）在[﹣1，0]上的最小值为．16．已知函数f（x）=sinx﹣x，若f（cos2θ+2msinθ）+f（﹣2﹣2m）＞0对任意的θ∈（0，）恒成立，则实数m的取值范围为．三、解答题：17．（12分）设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x2﹣x+（m﹣m2）＜0}．（1）当m＜时，化简集合B；（2）p：x∈A，命题q：x∈B，且命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=sin2ωx+2sinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0），f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为．（Ⅰ）求f（）的值；小明文库（Ⅱ）将f（x）的图象上所有点向左平移m（m＞0）个长度单位，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），当m取得最小值时，求g（x）的单调递增区间．19．（12分）经研究发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：f（t）=，（1）求出k的值，并指出讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能坚持多久？（2）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到185，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB的中点．（1）求证：AM∥平面PCD；（2）设点N是线段CD上的一动点，当点N在何处时，直线MN与平面PAB所成的角最大？并求出最大角的正弦值．21．（12分）设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=，已知曲线y=f（x）在x=1处的切线过点（2，3）．（1）求实数a的值．（2）是否存在自然数k，使得函数y=f（x）﹣g（x）在（k，k+1）内存在唯一的零点？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由．（3）设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，（其中min{p，q}表示p，q中的较小值），对于实数m，∃x0∈（0，+∞），使得h（x0）≥m成立，求实数m的取值范围．[坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=．小明文库（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程．（2）若点P是曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值，并求出此时点P的坐标．[不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．小明文库学年福建省泉州市晋江市养正中学、惠安一中、安溪一中联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡的相应位置.1．若集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=coskπ，k∈Z}，则∁MN=（）A．B．0C．{0}D．{﹣1，1}【考点】补集及其运算．【专题】对应思想；定义法；集合．【分析】化简集合N，求出它在M中的补集．【解答】解：∵集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=coskπ，k∈Z}={x|x=1或x=﹣1}={1，﹣1}，∴∁MN={0}．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．已知命题p：∀x＞1，x＞0，命题q：∃x∈R，x3＞3x，则下列命题为真命题的是（）A．p∧qB．p∨（￢q）C．p∧（￢q）D．（￢p）∧q【考点】复合命题的真假．【专题】探究型；转化思想；分析法；简易逻辑．【分析】由x＞1时，，说明p假；对于任意实数x，都有3x≥x3，说明q假，再由复合命题的真假判断得答案．【解答】解：当x＞1时，，∴p：∀x＞1，为假命题；对于q，当x＜3时，x3＜3x；当x=3时，x3=3x；当x＞3时，x3＜3x．∴命题q：∃x∈R，x3＞3x为假命题，则￢q为真命题．∴p∨（￢q）为真命题．故选：B．【点评】本题考查复合命题的真假判断，正确判定命题q的真假是关键，是中档题．3．（2016秋•晋江市期中）设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（）A．﹣1B．﹣C．﹣1或﹣D．2【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】计算题；分类讨论；函数思想；函数的性质及应用．【分析】利用分段函数列出方程求解即可．小明文库【解答】解：函数f（x）=，若f（f（））=4，可得4=f（1﹣b），当1﹣b＜1，即b＞0时，2（1﹣b）﹣b=4，解得b=﹣，（舍去）．当1﹣b≥1，即b≤0时，21﹣b=4，解得b=﹣1，故选：A．【点评】本题看看菜分段函数的应用，分类讨论思想的应用，考查计算能力．4．（2016秋•晋江市期中）角α的终边过函数y=loga（x﹣3）+2的定点P，则sin2α+cos2α=（）A．B．C．4D．5【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦．【专题】计算题；转化思想；定义法；三角函数的求值．【分析】利用函数的图象经过定点P的坐标，任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，再利用二倍角公式求得要求式子的值．【解答】解：∵函数y=loga（x﹣3）+2过定点P（4，2），且角α的终边过点P，∴x=4，y=2，r=|OP|=2，∴sinα==，cosα==，∴sin2α+cos2α=2sinαcosα+2cos2α﹣1=2××+2×﹣1=，故选：A．【点评】本题主要考查函数的图象经过定点问题，任意角的三角函数的定义，二倍角公式的应用，属于基础题．5．（2016秋•晋江市期中）函数f（x）=xsin（x2）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．小明文库【分析】先根据函数的奇偶性，得到函数f（x）为奇函数，在取特殊值x=，求出f（）＞0，问题得以解决【解答】解：因为f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）2=﹣xsin（x2）=﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故排除BC，当x=时，f（）=sin，∵0＜＜π，∴sin＞0，∴f（）＞0，故排除D，故选：A【点评】本题考查了函数的图象的识别，利用和函数的奇偶性和特殊值法，属于基础题6．（2014•辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选B．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．7．（2011•新课标）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．6【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题．【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．小明文库【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．8．（2010•江苏模拟）使y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为（）A．B．C．πD．【考点】正弦函数的图象；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】要使y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值只需要最小正周期小于或等于1，进而求得ω【解答】解：要使y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，只需要满足ωx=2，∵0≤x≤1，∴．∴ω的最小值为．故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的图象．属基础题．9．（2016秋•晋江市期中）已知三棱锥ABCD的棱长都相等，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）小明文库．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】证明题；转化思想；空间角．【分析】由题意：三棱锥ABCD的棱长都相等，可知该几何体是正三棱锥．题目要求解的是两条异面直线所成角的余弦值，且给出了棱AB的中点E，可以想到再找AD的中点F，连接两中点EF，得到EF∥BD，则直线CE与直线BD所成角转化为直线CE与直线EF所成角