周期性和对称性题目和答案

1函数的周期性和对称性【高考地位】函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。【方法点评】一、函数的周期性求法使用情景：几类特殊函数类型解题模板：第一步合理利用已知函数关系并进行适当地变形；[来源:学&科&网]第二步准确求出函数的周期性；第三步运用函数的周期性求解实际问题.常见周期（1）()()fxfxa，则()fx的周期Ta；（2）()()fxafx－，或()()fxafx－a或1()(()0)()fxafxfx，或1()()fxafx(()0)fx,则()fx的周期2Ta；1()()1()fxfxafx，则()fx是以2Ta为周期的周期函数.（3）1()()1()fxfxafx，则()fx是以4Ta为周期的周期函数.（4）1()()1()fxfxafx，则()fx是以4Ta为周期的周期函数.例1(1)函数)(xf对于任意实数x满足条件)(1)2(xfxf，若5)1(f，则))5((ff（）A．5B．5C．51D．51【答案】D【解析】考点：函数的周期性．[来源:Z+xx+k.Com]【变式演练1】已知定义在R上的函数()fx满足()()fxfx，(3)()fxfx，则(2019)f（）A．3B．0C．1D．32【答案】B【解析】【变式演练2】定义在R上的函数fx满足20,0,2fxfxx时，31xfx，则2015f的值为（）A.-2B.0C.2D.8【答案】A【解析】试题分析：由已知可得)()2()4(xfxfxffx的周期4T2015f)3(f2)1(f，故选A.【变式演练3】定义在R上的偶函数()yfx满足(2)()fxfx，且在[2,0]x上为增函数，3()2af，7()2bf，12(log8)cf，则下列不等式成立的是（）A．abcB．bcaC．bacD．cab[来源:学。科。网]【答案】B【解析】试题分析：因为定义在R上的偶函数()yfx在[2,0]x上为增函数，所以在[0,2]x上单调递减，又(4)()fxfx，所以1271(),(log8)3122bffcfff，又13122，所以bca．二、函数的对称性问题使用情景：几类特殊函数类型解题模板：记住常见的几种对称结论：第一类函数)(xf满足()()fxafbx时，函数()yfx的图像关于直线2abx对称；第二类函数)(xf满足()()cfxafbx时，函数()yfx的图像关于点(,)22abc对3称；第三类函数()yfxa的图像与函数()yfbx的图像关于直线2bax对称.例2．已知定义在R上的函数()fx满足()()fxfx，(3)()fxfx，则(2019)f（)A．3B．0C．1D．3【答案】B【解析】例3已知定义在R上的函数fx的图象关于点3,04对称,且满足32fxfx,又11,02ff,则123...2008ffff（）A．669B．670C．2008D．1【答案】D【解析】试题分析：由32fxfx得3fxfx，又11,02ff，(1)(13)(2)fff，(0)(3)ff，fx的图象关于点3,04对称，所以1131()()(1),(1)(2)(3)0222fffffff，由3fxfx可得123...2008669(123)(1)(1)(1)1ffffffffff，故选D.考点：函数的周期性；函数的对称性．例4.【2016届云南昆明一中高三仿真模拟七数学，理4】设函数()yfx定义在实数集R上，则函数()yfax与()yfxa的图象（）A．关于直线0y对称B．关于直线0x对称4C．关于直线ya对称D．关于直线xa对称【答案】D【解析】【高考再现】1.【2016高考山东理数】已知函数f(x)的定义域为R.当x0时，3()1fxx；当11x时，()()fxfx；当12x时，11()()22fxfx.则f(6)=（）（A）−2（B）−1（C）0（D）2【答案】D考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.【课后练习】1．【2017届河南夏邑县第一高级中学高三文一轮复习周测二数学试卷】已知函数fx是定义在R内的奇函数，且满足4fxfx，当0,2x时，22fxx，则2015f（）A．-2B．2C．-98D．98【答案】A【解析】试题分析：由4fxfx得fx的周期4T2015(3)(1)(1)2ffff，故选A.考点：1、函数的奇偶性；2、函数的周期性.2.【2017届河南新乡一中高三9月月考数学，文8】定义在R上的偶函数()fx满足(3)()fxfx，对12,[0,3]xx且12xx，都有1212()()0fxfxxx，则有（）A．(49)(64)(81)fffB．(49)(81)(64)fff5C．(64)(49)(81)fffD．(64)(81)(49)fff【答案】A【解析】试题分析：因为(3)()fxfx，所以(6)(3)fxfxfx，及fx是周期为6的函数，结合()fx是偶函数可得，(49)1,(64)22,(81)33ffffffff，再由12,[0,3]xx且12xx，1212()()0fxfxxx得()fx在[0,3]上递增，因此(1)(2)(3)fff，即(49)(64)(81)fff，故选A．考点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合．3.【2017届安徽合肥一中高三上学期月考一数学试卷，文12】已知定义在R上的函数()fx满足：(1)yfx的图象关于(1,0)点对称，且当0x时恒有31()()22fxfx，当[0,2)x时，()1xfxe，则(2016)(2015)ff（）A．1eB．1eC．1eD．1e【答案】A【解析】试题分析：(1)yfx的图象关于(1,0)点对称，则fx关于原点对称.当0x时恒有31()()22fxfx即函数fx的周期为2.所以(2016)(2015)011ffffe.学科网考点：函数的单调性、周期性与奇偶性，分段函数．4.【2016-2017学年贵州遵义四中高一上月考一数学试卷，理11】已知函数2()(12)fxaxx与()2gxx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．9[,)4B．9[,0]4C．[2,0]D．[2,4]【答案】C【解析】6考点：构造函数法求方程的解及参数范围.5.【2017届河北武邑中学高三上周考8.14数学试卷，理9】若对正常数m和任意实数x，等式1()()1()fxfxmfx成立，则下列说法正确的是（）A．函数()fx是周期函数，最小正周期为2mB．函数()fx是奇函数，但不是周期函数C．函数()fx是周期函数，最小正周期为4mD．函数()fx是偶函数，但不是周期函数【答案】C【解析】考点：函数的周期性．