直线与圆锥曲线专题训练

小明文库讲直线与圆锥曲线(推荐时间：60分钟)一、填空题1．若抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若AB＝22，则抛物线的焦点到直线AB的距离为________．2．若直线y＝x＋t与椭圆x24＋y2＝1相交于A，B两点，当t变化时，AB的最大值是________．3．(2011·天津改编)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为________．4．过双曲线x2a2－y2b2＝1右焦点的直线交双曲线所得的弦长为2a，若这样的直线有且仅有两条，则离心率为______．5．(2011·山东改编)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是________．6．设O为坐标原点，F1、F2是x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2＝60°，OP＝7a，则该双曲线的渐近线方程为____________．7．过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若13k12，则椭圆离心率的取值范围是__________．8．(2011·山东)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)和椭圆x216＋y29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．9．椭圆C：x216＋y29＝1及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)的位置关系是________．10．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB⊥l，垂足为B，则四边形ABEF的面积为________．11．如图，过抛物线y＝14x2的焦点的直线交抛物线与圆x2＋(y－1)2＝1于A、B、C、D四点，则AB·CD＝______.12．连结双曲线x2a2－y2b2＝1和y2b2－x2a2＝1(其中ab0)的四个顶点的四边形面积为S1，连结四个焦点的四边形的面积为S2，则当S1S2的值为最大时，双曲线y2b2－x2a2＝1的离心率为________．小明文库页二、解答题13．已知实数m1，定点A(－m,0)，B(m，0)，S为一动点，点S与A，B两点连线斜率之积为－1m2.(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；(2)当m＝2时，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t0)与曲线C有且只有一个交点？14.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y＝14x2的焦点，离心率等于255.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若MA→＝λ1AF→，MB→＝λ2BF→，求证λ1＋λ2为定值．15．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为63，椭圆C上任意一点到椭圆两焦点的距离之和为6.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：y＝kx－2与椭圆C交于A，B两点，点P(0,1)，且PA＝PB，求直线l的方程．答案1.122.41053.254.25．(2，＋∞)6.2x±y＝07．(12，23)8.x24－y23＝19．相交10．6311．112.213．解(1)设S(x，y)，则kSA＝y－0x＋m，kSB＝y－0x－m.由题意得y2x2－m2＝－1m2，即x2m2＋y2＝1(x≠±m)．∵m1，∴轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.(2)当m＝2时，曲线C的方程为x22＋y2＝1(x≠±2)．由2x－y＋t＝0，x22＋y2＝1，消去y得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.①令Δ＝64t2－36×2(t2－1)＝0，得t＝±3，∵t0，∴t＝3.此时直线l与曲线C有且只有一个公共点．②令Δ0且直线2x－y＋t＝0恰好过点(－2，0)时，t＝22.此时直线与曲线C有且只有一个公共点．小明文库页综上所述，当t＝3或22时，直线l与曲线C有且只有一个公共点．14．(1)解设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则由题意知b＝1，∴a2－b2a2＝255.即1－1a2＝255.∴a2＝5.∴椭圆C的方程为x25＋y2＝1.(2)方法一设A、B、M点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)．易知F点的坐标为(2,0)．∵MA→＝λ1AF→，∴(x1，y1－y0)＝λ1(2－x1，－y1)，∴x1＝2λ11＋λ1，y1＝y01＋λ1.将A点坐标代入到椭圆方程中，得152λ11＋λ12＋y01＋λ12＝1.去分母整理得λ21＋10λ1＋5－5y20＝0.同理，由MB→＝λ2BF→可得λ22＋10λ2＋5－5y20＝0，∴λ1，λ2是方程x2＋10x＋5－5y20＝0的两个根，∴λ1＋λ2＝－10.故λ1＋λ2为定值．方法二设A、B、M点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)．又易知F点的坐标为(2,0)．显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y＝k(x－2)．将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0.∴x1＋x2＝20k21＋5k2，x1x2＝20k2－51＋5k2.又∵MA→＝λ1AF→，MB→＝λ2BF→，将各点坐标代入得λ1＝x12－x1，λ2＝x22－x2.∴λ1＋λ2＝x12－x1＋x22－x2＝2x1＋x2－2x1x24－2x1＋x2＋x1x2＝…＝－10.故λ1＋λ2为定值．15．解(1)由已知2a＝6，ca＝63，解得a＝3，c＝6，所以b2＝a2－c2＝3，故椭圆C的方程为x29＋y23＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点为Ex1＋x22，y1＋y22.小明文库页由x2＋3y2＝9，y＝kx－2，得(1＋3k2)x2－12kx＋3＝0，则x1＋x2＝12k1＋3k2，x1x2＝31＋3k2.∵直线与椭圆有两个不同的交点，∴Δ＝144k2－12(1＋3k2)0，解得k219.而y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝k·12k1＋3k2－4＝－41＋3k2，∴E点坐标为6k1＋3k2，－21＋3k2.∵PA＝PB，∴PE⊥AB，kPE·kAB＝－1.∴－21＋3k2－16k1＋3k2·k＝－1.解得k＝±1，满足k219，∴直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y＋2＝0.