专题能力训练11高中数学等差数列与等比数列

1专题能力训练11等差数列与等比数列专题能力训练第28页一、能力突破训练1.在等差数列{an}中,a4+a10+a16=30,则a18-2a14的值为()A.20B.-20C.10D.-10答案:D解析:因为a4+a10+a16=30,所以3a10=30,即a10=10,所以a18-2a14=-a10=-10.故选D.2.已知数列{an}为等比数列,且a8a9a10=-=-1000,则a10a12=()A.100B.-100C.100√D.-100√答案:C解析:∵{an}为等比数列,∴a8a9a10=-=-1000,∴a9=-10,=1000.又a10a12=q20,∴a10a12=|a9a13|=100√3.(2019全国Ⅲ,理5)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16B.8C.4D.2答案:C解析:设等比数列{an}的公比为q(q0),则{--解得{所以a3=a1q2=1×22=4.故选C.4.已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn.若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d0,dS40B.a1d0,dS40C.a1d0,dS40D.a1d0,dS40答案:B解析:设{an}的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.∵a3,a4,a8成等比数列,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.∵d≠0,∴a1d=-d20,且a1=-d.∵dS4==2d(2a1+3d)=-d20,故选B.5.已知数列{an}满足,且a2=2,则a4等于()A.-B.23C.12D.11答案:D2解析:由已知得=2,则{an+1}是公比为2的等比数列,所以a4+1=(a2+1)·22=12.所以a4=11.故选D.6.已知各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,S10=40,则a3·a8的最大值为.答案:16解析:因为S10==40⇒a1+a10=a3+a8=8,a30,a80,所以a3·a8()()=16,当且仅当a3=a8=4时取等号.7.中国古代数学专著《九章算术》中有这样一题:今有男子善走,日增等里,九日走1260里,第一日、第四日、第七日所走之和为390里,则该男子第三日走的里数为.答案:120解析:男子每天走的里数构成等差数列,设为{an},其公差为d,前n项和为Sn.根据题意可知,S9=1260,a1+a4+a7=390,(方法一)∵S9==9a5=1260,∴a5=140.又a1+a4+a7=3a4=390,∴a4=130,∴d=a5-a4=10,∴a3=a4-d=120.(方法二)由题意,得{{解得{所以a3=a1+2d=120.8.设x,y,z是实数,若9x,12y,15z成等比数列,且成等差数列,则=.答案:解析:由题意知{解得xz=y2=y2,x+z=y,从而--2=()-2=9.已知Sn为数列{an}的前n项和,且a2+S2=31,an+1=3an-2n(n∈N*).(1)求证:{an-2n}为等比数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn.答案：(1)证明由an+1=3an-2n可得3an+1-2n+1=3an-2n-2n+1=3an-3·2n=3(an-2n).又a2=3a1-2,则S2=a1+a2=4a1-2,得a2+S2=7a1-4=31,得a1=5,则a1-21=3≠0.故{an-2n}为等比数列.(2)解由(1)可知an-2n=3n-1(a1-2)=3n,∴an=2n+3n,∴Sn=----=2n+1+10.已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a2=b3=4,a6=b5=16.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.解：(1)设{an}的公差为d.∵等差数列{an}和等比数列{bn}满足a2=b3=4,a6=b5=16,{解得{∴数列{an}的通项公式an=3n-2.(2)设{bn}的公比为q.∵等差数列{an}和等比数列{bn}满足a2=b3=4,a6=b5=16,{解得{b2n-1=b1q2n-2=(q2)n-1=4n-1,∴b1+b3+b5+…+b2n-1=---11.已知数列{an}是等比数列.设a2=2,a5=16.(1)若a1+a2+…+a2n=t(+…+),n∈N*,求实数t的值;(2)若在与之间插入k个数b1,b2,…,bk,使得,b1,b2,…,bk,成等差数列,求k的值.解：设等比数列{an}的公比为q,由a2=2,a5=16,得q=2,a1=1.(1)∵a1+a2+…+a2n=t(+…+),--=t--,即--=t--对n∈N*都成立,∴t=3.(2)=1,,且,b1,b2,…,bk,成等差数列,∴公差d==-,且=(k+1)d,即-1=(k+1)(-),解得k=13.二、思维提升训练12.几名大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答4案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.110答案:A解析:设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第n组的项数为n,则前n组的项数和为第n组的和为--=2n-1,前n组总共的和为---n=2n+1-2-n.由题意,N100,令100,得n≥14且n∈N*,即N出现在第13组之后.若要使最小整数N满足:N100且前N项和为2的整数幂,则SN-应与-2-n互为相反数,即2k-1=2+n(k∈N*,n≥14),所以k=log2(n+3),解得n=29,k=5.所以N=+5=440,故选A.13.若数列{an}为等比数列,且a1=1,q=2,则Tn=+…+等于()A.1-B(-)C.1-D(-)答案:B解析:因为an=1×2n-1=2n-1,所以anan+1=2n-1·2n=22n-1=2×4n-1,所以()-所以{}是等比数列.故Tn=+…+(-)-(-)14.已知等比数列{an}的首项为,公比为-,其前n项和为Sn.若A≤Sn-B对n∈N*恒成立,则B-A的最小值为.答案:解析:易得Sn=1-(-)[)(],因为y=Sn-在区间[]上单调递增(y≠0),5所以y[-][A,B],因此B-A的最小值为(-)15.无穷数列{an}由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和.若对任意n∈N*,Sn∈{2,3},则k的最大值为.答案:4解析:要满足数列中的条件,涉及最多的项的数列可以为2,1,-1,0,0,0,…,所以最多由4个不同的数组成.16.已知数列{an},{bn}满足:an+1+1=2an+n,bn-an=n,b1=2.(1)证明数列{bn}是等比数列,并求数列{bn}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项和Sn.解：(1)因为bn-an=n,所以bn=an+n.因为an+1=2an+n-1,所以an+1+(n+1)=2(an+n),即bn+1=2bn.又b1=2,所以{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,bn=2×2n-1=2n.(2)由(1)可得an=bn-n=2n-n,所以Sn=(21+22+23+…+2n)-(1+2+3+…+n)=--=2n+1-2-17.(2019天津,理19)设{an}是等差数列,{bn}是等比数列.已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)设数列{cn}满足c1=1,cn={其中k∈N*.①求数列{-1)}的通项公式;②求aici(n∈N*).解：(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.依题意得{解得{故an=4+(n-1)×3=3n+1,bn=6×2n-1=3×2n.所以,{an}的通项公式为an=3n+1,{bn}的通项公式为bn=3×2n.(2)-1)=(bn-1)=(3×2n+1)(3×2n-1)=9×4n-1.所以,数列{-1)}的通项公式为-1)=9×4n-1.aici=[ai+ai(ci-1)]6=ai+-1)=2n×4+-3+(9×4i-1)=(3×22n-1+5×2n-1)+9---n=27×22n-1+5×2n-1-n-12(n∈N*).