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1专题能力训练13空间几何体专题能力训练第32页一、能力突破训练1.已知过圆锥的轴的截面是顶角为120°的等腰三角形,若圆锥的母线长为2,则该圆锥的体积为()AB.πCD.2π答案:B解析:由题意可知,圆锥的底面半径为√,高为1,所以该圆锥的体积为V=Sh=√1=π.2.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A+1B+3C+1D+3答案:A解析:V=3()+1,故选A.3.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是()A.17πB.18πC.20πD.28π2答案:A解析:由三视图可知该几何体是球截去后所得几何体,则R3=,解得R=2,所以它的表面积为4πR2+πR2=14π+3π=17π.4.已知平面α截球O的球面得圆M,过圆心Μ的平面β与α的夹角为,且平面β截球O的球面得圆N.已知球Ο的半径为5,圆M的面积为9π,则圆N的半径为()A.3B√C.4D√答案:B解析:如图,∵OA=5,AM=3,∴OM=4.∵∠NMO=,∴ON=OM·sin=2√又∵OB=5,∴NB=√-√,故选B.5.已知一个几何体的三视图如图所示,其中三个三角形均是直角三角形,图形给出的数据均是直角边的长度,则该几何体的外接球的体积为()A.24πB.6πC.8√D√答案:D解析:几何体为三棱锥,且底面为直角三角形(形状与俯视图相同),侧棱垂直于底面,将该三棱锥补成长、宽、高分别为2,1,1的长方体,其外接球的直径为2R=√√则该几何体的外接球的体积为V=(√)√36.(2018全国Ⅰ,理7)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如下图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()A.2√B.2√C.3D.2答案:B解析:如图所示,易知N为⏜的中点,将圆柱的侧面沿母线MC剪开,展平为矩形MCC'M',易知CN=CC'=4,MC=2,从M到N的路程中最短路径为MN.在Rt△MCN中,MN=√=2√7.在四面体ABCD中,AB=CD=6,AC=BD=4,AD=BC=5,则四面体ABCD的外接球的表面积为.答案:解析:构造一个长方体,使得它的三条面对角线长分别为4,5,6,设长方体的三条边长分别为x,y,z,则x2+y2+z2=,而长方体的外接球就是四面体的外接球,所以S=4πR2=8.(2019北京,理11)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为.答案:40解析:在正方体中还原该几何体,如图所示.4该几何体的体积V=43-(2+4)×2×4=40.9.(2018全国Ⅱ,理16)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成的角为45°.若△SAB的面积为5√,则该圆锥的侧面积为.答案:40√解析:设O为底面圆圆心,∵cos∠ASB=,∴sin∠ASB=√-()√∴S△ASB=|AS|·|BS|√=5√∴SA2=80.∴SA=4√∵SA与圆锥底面所成的角为45°,∠SOA=90°,∴SO=OA=√SA=2√∴S圆锥侧=πrl=4√2√π=40√10.我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述:“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.合两鳖臑三而一,验之以棊,其形露矣.”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示,图中网格纸上小正方形的边长为1,对该几何体有如下描述:①四个侧面都是直角三角形;②最长的侧棱长为2√;③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形;④外接球的表面积为24π.其中正确的描述的序号为.答案:①②④5解析:由三视图还原原几何体,如图所示,可知该几何体为四棱锥,PA⊥底面ABCD,PA=2,底面ABCD为矩形,AB=2,BC=4,则四个侧面都是直角三角形,故①正确;最长侧棱为PC,长为2√,故②正确;由已知可得,PB=2√,PC=2√,PD=2√,则四个侧面均不全等,故③错误;把四棱锥补形为长方体,则其外接球的半径为PC=√,其表面积为4π×(√)2=24π,故④正确.11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.解:(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=√-=6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为(也正确)二、思维提升训练12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()6A.9(√+1)π+8√B.9(√+2)π+4√-8C.9(√+2)π+4√D.9(√+1)π+8√-8答案:D解析:由三视图可知,该几何体是由一个四棱锥和一个圆锥拼接而成,故S=(2π×3)×3√+π×32-(2√)2+4(√)=9(√+1)π+8√-8.故选D.13.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,点E,F分别在AB,CD上,且=3.若沿点E,F连线折成的多面体如图所示,使AB⊥平面BCFE,则该多面体的正视图的面积为()A.4√B.2√C.3√D.6答案:A解析:由题意,得AE=,BE=由AB⊥平面BCFE,得AB⊥BE,所以AB=√-√,∴所求多面体的正视图的面积为√4=4√14.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.7答案:4√解析:如图所示,连接OD,交BC于点G.由题意知OD⊥BC,OG=√BC.设OG=x,则BC=2√x,DG=5-x,三棱锥的高h=√-√--√-因为S△ABC=2√x×3x=3√x2,所以三棱锥的体积V=S△ABC·h=√x2√-√√-令f(x)=25x4-10x5,x(),则f'(x)=100x3-50x4.令f'(x)=0,可得x=2,则f(x)在(0,2)单调递增,在()单调递减,所以f(x)max=f(2)=80.所以V√√=4√,所以三棱锥体积的最大值为4√15.若三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SA⊥平面ABC,SA=2√,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,则球O的表面积为.答案:64π解析:如图,三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,因为AB=1,AC=2,∠BAC=60°,所以BC=√,所以∠ABC=90°.所以△ABC截球O所得的圆O'的半径r=1.设OO'=x,球O的半径为R,则R2=x2+12,R2=(SA-x)2+12,所以x2+1=√-+1,8解得x=√,R2=√+12,R=4.所以球O的表面积为4πR2=64π.16.如图①,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿对角线AC把矩形折成二面角D-AC-B(如图②),并且点D在平面ABC内的射影落在AB上.(1)证明:AD⊥平面DBC;(2)若在四面体D-ABC内有一球,问:当球的体积最大时,球的半径是多少?答案：(1)证明设D在平面ABC内的射影为H,则H在AB上,连接DH,如图,则DH⊥平面ABC,得DH⊥BC.又AB⊥BC,AB∩DH=H,所以BC⊥平面ADB,故AD⊥BC.又AD⊥DC,DC∩BC=C,所以AD⊥平面DBC.(2)解当球的体积最大时,易知球与三棱锥D-ABC的各面相切,设球的半径为R,球心为O,则VD-ABC=R(S△ABC+S△DBC+S△DAC+S△DAB).由已知可得S△ABC=S△ADC=6.过点D作DG⊥AC于点G,连接GH,如图,可知HG⊥AC.易得DG=,HG=,DH=√-√,S△DAB=4√√在△DAB和△BCD中,因为AD=BC,AB=DC,DB=DB,所以△DAB≌△BCD,故S△DBC=√,VD-ABC=6√√则(√√)√,于是(4+√)R=√,所以R=√√√-