专题能力训练16高中数学直线与圆

1专题能力训练16直线与圆专题能力训练第38页一、能力突破训练1.已知圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为()A(-)+y2=B()+y2=C(-)+y2=D(-)+y2=答案:C解析:因为圆心在x轴的正半轴上,排除B;代入点A(0,1),排除A,D.故选C.2.若直线x-2y-3=0与圆C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则△ECF的面积为()AB.2√C√D答案:B解析:由题意,圆心为C(2,-3),半径为r=3,则△ECF的高h=d=-√-√,底边长为l=2√-=2√-=4,所以S△ECF=4√=2√,故选B.3.(2018全国Ⅲ,理6)已知直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[2,6]B.[4,8]C.[√,3√]D.[2√,3√]答案:A解析:设圆心到直线AB的距离d=√=2√点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即√d'≤3√又AB=2√,∴S△ABP=|AB|·d'=√d',∴2≤S△ABP≤6.24.已知直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=2相交于A,B两点,则“k=1”是“∠AOB=120°”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:圆心(0,0)到直线l:y=kx+1的距离为d=√若∠AOB=120°,则有√√,解得k2=1,即k=±1.若k=1,则∠AOB=120°;但∠AOB=120°,则k=-1或k=1,故选A.5.已知点M,N是圆A:x2+y2-2x=0与圆B:x2+y2+2x-4y=0的公共点,则△BMN的面积为.答案:解析:联立{--两式相减可得直线MN的方程为x-y=0.所以点B(-1,2)到直线MN的距离为--√√,线段MN的长度为2√√-(√)√所以△BMN的面积为√√6.公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中,曾研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下结果:平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆,后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中,已知点A(-2,0),B(2,0),则满足|PA|=2|PB|的点P的轨迹的圆心为,面积为.答案:()解析:设P(x,y),∵|PA|=2|PB|,√=2√-,即(x+2)2+y2=4(x-2)2+4y2,化简可得(-)+y2=故圆心坐标为(),面积为7.已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点F关于直线y=x对称,直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为.答案:x2+(y-1)2=10解析:抛物线y2=4x的焦点F(1,0)关于直线y=x的对称点C(0,1)是圆心,C到直线4x-3y-2=0的距离d=--=1.3∵圆截直线4x-3y-2=0的弦长为6,∴圆的半径r=√√∴圆方程为x2+(y-1)2=10.8.已知P是抛物线y2=4x上的动点,过点P作抛物线准线的垂线,垂足为点M,N是圆(x-2)2+(y-5)2=1上的动点,则|PM|+|PN|的最小值是.答案:√-1解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆(x-2)2+(y-5)2=1的圆心为C(2,5),根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,进而推断出当P,C,F三点共线时,点P到点C的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值为|FC|=√--√,故|PM|+|PN|的最小值是|FC|-1=√-1.9.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-√y=4相切.(1)求圆O的方程;(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2√,求直线MN的方程;(3)设圆O与x轴相交于A,B两点,若圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围.解:(1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-√y=4的距离,即r=√=2.所以圆O的方程为x2+y2=4.(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.则圆心O到直线MN的距离d=√由垂径定理,得+(√)2=22,即m=±√所以直线MN的方程为2x-y+√=0或2x-y-√=0.(3)设点P(x,y),由题意得点A(-2,0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得√√-=x2+y2,即x2-y2=2.因为⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1),且点P在圆O内,所以{-由此得0≤y21.所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围为[-2,0).10.已知圆O:x2+y2=4,点A(√,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.4(1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.解:(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取点A关于y轴的对称点A',连接A'B,则|A'B|=2|OM|,所以|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4|A'A|.所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=√,b=1,故曲线Γ的方程为+y2=1.(2)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗设B(x0,y0),则x0(x0-√)+=0.又=1,解得x0=√,y0=±√√则kOB=±√,kAB=√,则直线AB的方程为y=±√(x-√),即√x-y-√=0或√x+y-√=0.11.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12,其中O为坐标原点,求|MN|.解:(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点,所以-√1.解得-√k√5所以k的取值范围为(-√√)(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=,x1x2=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8.由题设可得+8=12,解得k=1,所以l的方程为y=x+1.故圆心C在l上,所以|MN|=2.二、思维提升训练12.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗,则λ+μ的最大值为()A.3B.2√C√D.2答案:A解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,1),B(0,0),D(2,1).设P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得r=√√,即圆的方程是(x-2)2+y2=易知⃗⃗⃗⃗⃗=(x,y-1),⃗⃗⃗⃗⃗=(0,-1),⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0).由⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗,得{--所以μ=,λ=1-y,所以λ+μ=x-y+1.设z=x-y+1,即x-y+1-z=0.6因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=上,所以圆心C到直线x-y+1-z=0的距离d≤r,即-√√,解得1≤z≤3,所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故选A.13.已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是()A.(0,1)B(-√)C(-√]D[)答案:B解析:由题意可得,△ABC的面积为S=AB·OC=1,由于直线y=ax+b(a0)与x轴的交点为M(-),由-0可得点M在射线OA上.设直线和BC的交点为N,又直线BC的方程为x+y=1,则由{可得点N的坐标为(-)①若点M和点A重合,则点N为线段BC的中点,则-=-1,且,解得a=b=②若点M在点O和点A之间,则点N在点B和点C之间,由题意可得△NMB的面积等于,即|MB|·yN=,即(),解得a=-0,则b③若点M在点A的左侧,则--1,ba,设直线y=ax+b和AC的交点为P,则由{求得点P的坐标为(----),此时,NP=√(----)(---)7=√[---][--]=√----√,此时,点C(0,1)到直线y=ax+b的距离为-√-√,由题意可得,△CPN的面积等于,即--√-√,化简,得2(1-b)2=|a2-1|.由于此时0a1,∴2(1-b)2=|a2-1|=1-a2.两边开方可得√(1-b)=√-1,则1-b√,即b1-√,综合以上可得,b=符合题意,且b,b1-√,即b的取值范围是(-√)14.已知坐标原点为O,过点P(2,6)作直线2mx-(4m+n)y+2n=0(m,n不同时为零)的垂线,垂足为M,则|OM|的取值范围是.答案:[5-√,5+√]解析:根据题意,直线2mx-(4m+n)y+2n=0,即m(2x-4y)-n(y-2)=0,则有{--解得{则直线恒过定点(4,2).设点Q(4,2),又MP与直线垂直,且M为垂足,则点M的轨迹是以PQ为直径的圆,其方程为(x-3)2+(y-4)2=5.所以5-√|OM|≤5+√,即|OM|的取值范围是[5-√,5+√].15.已知直线l:mx+y+3m-√=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2√,则|CD|=.答案:4解析:因为|AB|=2√,且圆的半径R=2√,所以圆心(0,0)到直线mx+y+3m-√=0的距离为√-()=3.由-√√=3,解得m=-√将其代入直线l的方程,得y=√x+2√,即直线l的倾斜角为30°.8由平面几何知识知在梯形ABDC中,|CD|=°=4.16.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,求实数t的取值范围.解:圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0y07,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为--=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=-√√因为BC=OA=√=2√,而MC2=d2+(),所以25=+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,9所以{-①因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,所以5-5√--5+5,解得2-2√t≤2+2√因此,实数t的取值范围是[2-2√,2+2√].17.已知以点C()(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原点.(1)求证:△AOB的面积为定值;(2)设直线2x+y-4=0与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程;(3)在(2)的