专题能力训练17高中数学椭圆双曲线抛物线

1专题能力训练17椭圆、双曲线、抛物线专题能力训练第40页一、能力突破训练1.已知双曲线C:=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=√x,且与椭圆=1有公共焦点,则C的方程为()A=1B=1C=1D=1答案:B解析:由题意得√,c=3.又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程为=1.2.已知F是抛物线C:y2=2px(p0)的焦点,过点R(2,1)的直线l与抛物线C相交于A,B两点,R为线段AB的中点.若|FA|+|FB|=5,则直线l的斜率为()A.3B.1C.2D答案:B解析:设A(x1,y1),B(x2,y2).因为R(2,1)为线段AB的中点,所以x1+x2=2×2=4.根据抛物线的定义可知|FA|+|FB|=x1+x2+p=2×2+p=5,解得p=1.所以抛物线方程为y2=2x.所以=2x1,=2x2,两式相减并化简得--=1,即直线l的斜率为1,故选B.3.(2018全国Ⅱ,理5)若双曲线=1(a0,b0)的离心率为√,则其渐近线方程为()A.y=±√xB.y=±√xC.y=±√xD.y=±√x答案:A解析:∵e=√,()+1=3.√2∵双曲线焦点在x轴上,∴渐近线方程为y=±x,∴渐近线方程为y=±√x.4.已知双曲线=1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()A=1B=1C=1D=1答案:C解析:由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=x.如图所示,|AD|=d1,|BC|=d2,过点F作EF⊥CD于点E.由题易知EF为梯形ABCD的中位线,所以|EF|=(d1+d2)=3.又因为点F(c,0)到y=x的距离为-√=b,所以b=3,b2=9.因为e==2,c2=a2+b2,所以a2=3,所以双曲线的方程为=1.故选C.5.(2019全国Ⅱ,理8)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.8答案:D3解析:∵y2=2px的焦点坐标为,0,椭圆=1的焦点坐标为(±√-,0),∴3p-p=,解得p=8,故选D.6.如图,圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状,则该椭圆的离心率为.答案:√解析:如图,由题意可知椭圆的短轴长为圆柱的直径AC,椭圆的长轴长为AB,且∠ABC=30°.所以AC=2b,AB=2a,且AB=2AC.所以a=2b,所以c=√-√b.所以e=√7.已知双曲线C:=1(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.答案:√解析:如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b,∵∠MAN=60°,∴|AP|=√b,|OP|=√-√-设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ,则tanθ=√√-又tanθ=,√√-,解得a2=3b2,4∴e=√√√8.如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.解:(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由{-消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故{--解得{因此,点B的坐标为()(2)由(1)知|AP|=t√和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=√设△PAB的面积为S(t),所以S(t)=|AP|·d=9.如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;5(2)设直线y=x+m(m0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ||PR|,求的取值范围.解:(1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在.于是x≠1,且x≠-1.此时,MA的斜率为,MB的斜率为-由题意,有-=4.整理,得4x2-y2-4=0.故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠±1).(2)由{--消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0.①对于方程①,其判别式Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+480,而当1或-1为方程①的根时,m的值为-1或1.结合题设(m0)可知,m0,且m≠1.设Q,R的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),则xQ,xR为方程①的两根,因为|PQ||PR|,所以|xQ||xR|.因为xQ=-√,xR=√,且Q,R在同一条直线上,所以||√√-=1+√-此时√1,且√2,所以11+√-3,且1+√-,所以1||3,且||综上所述,的取值范围是()()10.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=⃗⃗⃗⃗⃗⃗(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+2.(1)求曲线C的方程;6(2)点Q(x0,y0)(-2x02)是曲线C上动点,曲线C在点Q处的切线为l,点P的坐标是(0,-1),l与PA,PB分别交于点D,E,求△QAB与△PDE的面积之比.解:(1)由题意可知⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-2-x,1-y),⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2-x,1-y),⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x,y),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2).∵|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=⃗⃗⃗⃗⃗⃗(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+2,√-=2y+2,∴x2=4y.∴曲线C的方程为x2=4y.(2)设点Q(),则S△QAB=2|-|=2(-)∵y=,∴y'=x,∴kl=x0,∴切线l的方程为y-x0(x-x0)与y轴交点H(-),|PH|=|-|=1-直线PA的方程为y=-x-1,直线PB的方程为y=x-1,由{---得xD=-由{--得xE=,∴S△PDE=|xD-xE|·|PH|=1-,∴△QAB与△PDE的面积之比为2.二、思维提升训练11.(2019全国Ⅰ,理10)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A+y2=1B=1C=1D=1答案:B解析:如图,由已知可设|F2B|=n,|BF1|=m.7由|AB|=|BF1|,则|AF2|=m-n,|AB|=m.又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n.由椭圆的定义及|AF2|=2|F2B|,得{-解得{∴|AF1|=a,|AF2|=a.∴点A为(0,-b)=b.过点B作x轴的垂线,垂足为点P.由题意可知△OAF2∽△PBF2.又|AF2|=2|F2B|,∴|OF2|=2|F2P|.∴|F2P|=又=b,∴|BP|=b.∴点B()把点B坐标代入椭圆方程=1中,得a2=3.又c=1,故b2=2.所以椭圆方程为=1.12.(2018全国Ⅲ,理11)设F1,F2是双曲线C:=1(a0,b0)的左、右焦点,O是坐标原点,过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=√|OP|,则C的离心率为()A√B.2C√D√答案:C解析:由题意画图,如图所示,可知|PF2|=b,|OP|=a.由题意,得|PF1|=√a.设双曲线渐近线的倾斜角为θ.∴在△OPF1中,由余弦定理知cos(180°-θ)=-√-=-cosθ.8又cosθ=,-=-,解得c2=3a2.∴e=√13.已知M是抛物线x2=4y上一点,F为其焦点,C为圆(x+1)2+(y-2)2=1的圆心,则|MF|+|MC|的最小值为.答案:3解析:设抛物线x2=4y的准线方程为l:y=-1.因为点C为圆(x+1)2+(y-2)2=1的圆心,所以点C的坐标为(-1,2).过点M作l的垂线,垂足为点E,根据抛物线的定义可知|MF|=|ME|,所以|MF|+|MC|的最小值,即为|MC|+|ME|的最小值.由平面几何的知识可知,当C,M,E在一条直线上时,此时CE⊥l,|MC|+|ME|有最小值,最小值为CE=2-(-1)=3.14.在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.答案:y=±√x解析:抛物线x2=2py的焦点F(),准线方程为y=-设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=4=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得{-消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2==p,所以所以该双曲线的渐近线方程为y=±√x.15.已知圆C:(x+1)2+y2=20,点B(1,0),点A是圆C上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P.(1)求动点P的轨迹C1的方程;(2)设M(),N为抛物线C2:y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求△MPQ面积的最大值.解:(1)由已知可得,点P满足|PB|+|PC|=|AC|=2√2=|BC|,所以动点P的轨迹C1是一个椭圆,其中2a=2√,2c=2.动点P的轨迹C1的方程为=1.9(2)设N(t,t2),则PQ的方程为y-t2=2t(x-t)⇒y=2tx-t2.联立方程组{-消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有{--而|PQ|=√|x1-x2|=√√-,点M到PQ的高为h=√,由S△MPQ=|PQ|h代入化简,得S△MPQ=√√--√√√,当且仅当t2=10时,S△MPQ可取最大值√16.已知动点C是椭圆Ω:+y2=1(a1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=的一条直径(A,B是端点),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最大值是(1)求椭圆Ω的方程;(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P,Q两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)设点C的坐标为(x,y),则+y2=1.连接CG,由⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,又G(0,2),⃗⃗⃗⃗⃗=(-x,2-y),可得⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x2+(y-2)2-=a(1-y2)+(y-2)2-=-(a-1)y2-4y+a+,其中y∈[-1,1].因为a1,所以当y=--1,即1a≤3时,取y=-1,得⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗有最大值-(a-1)+4+a+,与条件矛盾;10当y=--1,即a3时,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最大值是-()--,由条件得-()--,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).综上所述,椭圆Ω的方程是+y2=1.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为(x0,y0),则满足=1,=1,两式相减,整理,得--=-=-,从而直线PQ的方程为y-y0=-(x-x0).又右焦点F2的坐标是(2,0),将点F2的坐标代入PQ的方程得-y0=-(2-x0),因为直线l与x轴不垂直,所以2x0-=50,从而0x02.假设在线段OF2上存在点M(m,0)(0m2),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,则线段PQ的垂直平分线必过点M,而线段PQ的垂直平分线方程是y-y0=(x-x0),将点M(m,0)代入得-y0=(m-x0)