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1专题能力训练2不等式、线性规划专题能力训练第12页一、能力突破训练1.(2019全国Ⅱ,理6)若ab,则()A.ln(a-b)0B.3a3bC.a3-b30D.|a||b|答案:C解析:取a=2,b=1,满足ab,但ln(a-b)=0,排除A;∵3a=9,3b=3,∴3a3b,排除B;∵y=x3是增函数,ab,∴a3b3,故C正确;取a=1,b=-2,满足ab,但|a||b|,排除D.故选C.2.已知函数f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增,则f(2-x)0的解集为()A.{x|x2,或x-2}B.{x|-2x2}C.{x|x0,或x4}D.{x|0x4}答案:C解析:∵f(x)=ax2+(b-2a)x-2b为偶函数,∴b-2a=0,即b=2a,∴f(x)=ax2-4a.∴f'(x)=2ax.又f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,∴a0.由f(2-x)0,得a(x-2)2-4a0,∵a0,∴|x-2|2,解得x4或x0.3.已知集合M={x|y=log2(-4x-x2)},N={|()},则M∩N=()A.(-4,-2]B.[-2,0)C.(-4,2]D.(-∞,-4)答案:A解析:由题意,得M={x|-4x-x20}=(-4,0),N={|()}=(-∞,-2],则M∩N=(-4,-2].4.若不等式组{-表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是()A.(-∞,5)B.[7,+∞)C.[5,7)D.(-∞,5)∪[7,+∞)答案:C解析:满足约束条件{-的可行域如图所示.由图可知,若不等式组{-表示的平面区域是一个三角形,2则a的取值范围是5≤a7.5.已知函数f(x)=(ax-1)(x+b),若不等式f(x)0的解集是(-1,3),则不等式f(-2x)0的解集是()A(--)()B(-)C(--)()D(-)答案:A解析:由f(x)0,得ax2+(ab-1)x-b0.∵其解集是(-1,3),∴a0,且{---解得a=-1或a=(舍去),∴a=-1,b=-3.∴f(x)=-x2+2x+3,∴f(-2x)=-4x2-4x+3,由-4x2-4x+30,得4x2+4x-30,解得x或x-,故选A.6.设函数f(x)={-则不等式f(x)f(1)的解集是()A.(-3,1)∪(3,+∞)B.(-3,1)∪(2,+∞)C.(-1,1)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,3)答案:A解析:由题意,得f(1)=3,则原不等式可化为{或{-解得-3x1或x3,所以原不等式的解集为(-3,1)∪(3,+∞).7.已知x,y满足约束条件{--若目标函数z=3x+y的最小值为-5,则z的最大值为()3A.2B.3C.4D.5答案:D解析:画出x,y满足的可行域如图所示,z=3x+y变形为y=-3x+z,数形结合可得在点A处z取得最小值-5,在点B处取得最大值,由{--得A(-2,1).代入x+y+a=0,得a=1.由{-得B(3,-4).当y=-3x+z过点B(3,-4)时,目标函数z=3x+y取得最大值,最大值为zmax=3×3+(-4)=5.8.已知变量x,y满足约束条件{-若x+2y≥-5恒成立,则实数a的取值范围为()A.(-∞,-1]B.[-1,+∞)C.[-1,1]D.[-1,1)答案:C解析:设z=x+2y,要使x+2y≥-5恒成立,即z≥-5.作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示,要使不等式组成立,则a≤1,由z=x+2y,得y=-x+,平移直线y=-x+,由图象可知当直线经过点A时,直线y=-x+的截距最小,此时z最小,即x+2y=-5,由{--解得{--即A(-1,-2),此时a=-1,所以要使x+2y≥-5恒成立,则-1≤a≤1,故选C.49.若变量x,y满足{则z=2x+y的最大值是.答案:√解析:作出可行域如图所示,z=2x+y可化为y=-2x+z.由图可知,当直线y=-2x+z与圆相切于点A时,直线在y轴上的截距最大,即z最大,此时-√=1,解得z=√(负值舍去).10.若x,y满足约束条件{-则z=x+3y的最小值是,最大值是.答案:-28解析:由约束条件{-画出可行域,如图所示的阴影部分.由z=x+3y,可知y=-x+由题意可知,当目标函数的图象经过点B时,z取得最大值,当目标函数的图象经过点C时,z取得最小值.由{得{此时z最大=2+3×2=8,由{得{-此时z最小=4+3×(-2)=-2.511.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.答案:216000解析:设生产产品Ax件,生产产品By件,由题意得{∈即{∈目标函数z=2100x+900y,画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分中的整数点所示),作直线y=-x,当直线过5x+3y=600与10x+3y=900的交点时,z取最大值,由{解得{所以zmax=2100×60+900×100=216000.12.已知实数x,y满足{--则z=的最小值是.答案:解析:z==1+,画出不等式组表示的可行域,如图所示.由{--得B(3,-2).6表示可行域内的点(x,y)与点A(-1,-3)连线的斜率,由图可知斜率的最小值为kAB=-----,所以z==1+的最小值为二、思维提升训练13.已知x,y满足约束条件{----若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为()A或-1B或2C.1或2D.-1或2答案:D解析:在平面直角坐标系内作出不等式组所表示的平面区域,如图所示的△ABC,目标函数z=y-ax可变形为y=ax+z,z的几何意义为直线y=ax+z在y轴上的截距.因为z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,所以直线y=ax+z与区域三角形的某一边平行,当直线y=ax+z与边线x+y-2=0平行时,a=-1符合题意;当直线y=ax+z与边线x-2y-2=0平行时,a=不符合题意;当直线y=ax+z与边线2x-y-2=0平行时,a=2符合题意,综上所述,实数a的值为-1或2.故选D.14.若关于x的不等式x2-(a+1)·x+a≤0的解集是[-4,3]的子集,则实数a的取值范围是()A.[-4,1]B.[-4,3]C.[1,3]D.[-1,3]7答案:B解析:由x2-(a+1)x+a≤0,得(x-a)(x-1)≤0.若a=1,则不等式的解集为{1},满足{1}⊆[-4,3];若a1,则不等式的解集为[a,1],若满足[a,1]⊆[-4,3],则-4≤a1;若a1,则不等式的解集为[1,a],若满足[1,a]⊆[-4,3],则1a≤3.综上,-4≤a≤3.15.若实数x,y满足约束条件{--则z=lny-lnx的最小值是.答案:-ln3解析:作出可行域如图所示,联立{解得B(3,1).∵目标函数z=lny-lnx=ln,的最小值为kOB=,∴z=lny-lnx的最小值是-ln3.16.已知x,y∈(0,+∞),2x-3=(),则的最小值为.答案:3解析:由2x-3=(),得x+y=3,故(x+y)()()(5+4)=3,当且仅当{即{(x,y∈(0,+∞))时等号成立.17.若函数f(x)=-lgx的值域为(0,+∞),则实数a的最小值为.答案:-28解析:函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞),由-0及函数f(x)的值域为(0,+∞)知x2+ax+10对∀x∈{x|x0,且x≠1}恒成立,即a-x-在定义域内恒成立,而-x--2(当x≠1时等号不成立),因此a≥-2.18.已知存在实数x,y满足约束条件{----则R的最小值是.答案:2解析:根据前三个约束条件{---作出可行域如图中阴影部分所示.由存在实数x,y满足四个约束条件,得图中阴影部分与以(0,1)为圆心、半径为R的圆有公共部分,因此当圆与图中阴影部分相切时,R最小.由图可知R的最小值为2.