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1专题能力训练3平面向量与复数专题能力训练第13页一、能力突破训练1.(2019全国Ⅱ,理2)设z=-3+2i,则在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:C解析:由z=-3+2i,得=-3-2i,则在复平面内对应的点(-3,-2)位于第三象限,故选C.2.设a,b是两个非零向量,则下列结论一定成立的为()A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥bB.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λaD.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|答案:C解析:设向量a与b的夹角为θ.对于A,可得cosθ=-1,因此a⊥b不成立;对于B,当满足a⊥b时|a+b|=|a|-|b|不成立;对于C,可得cosθ=-1,因此成立,而D显然不一定成立.3.若复数z满足(1+i)z=|3+4i|,则z的虚部为()A.5BC.-D.-5答案:C解析:由(1+i)z=|3+4i|=√=5,得z=--i,其虚部为-4.在复平面内,若复数z的对应点与的对应点关于虚轴对称,则z=()A.2-iB.-2-iC.2+iD.-2+i答案:D解析:--=2+i所对应的点为(2,1),它关于虚轴对称的点为(-2,1),故z=-2+i.5.已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=()A.-1B.0C.1D.2答案:C解析:∵2a+b=(1,0),又a=(1,-1),∴(2a+b)·a=1+0=1.6.已知i为虚数单位,(2+i)=3+2i,则下列结论正确的是()2A.z的共轭复数为iB.z的虚部为-C.z在复平面内对应的点在第二象限D.|z|=答案:B解析:因为--,所以z=-,故A错误,B正确;z在复平面内对应的点为(-),在第四象限,故C错误;|z|=√()(-)√,故D错误.7.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=()A.-a2B.-a2Ca2Da2答案:D解析:如图,设⃗⃗⃗⃗⃗=a,⃗⃗⃗⃗⃗=b,则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⃗⃗⃗⃗⃗=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos60°=a2+a2=a2.8.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=√,且a⊥(a+2b),则b在a方向上的投影为()A.1B.-1C√D.-√答案:B解析:∵a⊥(a+2b),∴a·(a+2b)=0,即a2+2a·b=4+2a·b=0,∴a·b=-2,∴b在a方向上的投影为-=-1.9.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,I2=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,I3=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则()3A.I1I2I3B.I1I3I2C.I3I1I2D.I2I1I3答案:C解析:由题图可得OAACOC,OBBDOD,∠AOB=∠COD90°,∠BOC90°,所以I2=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0,I1=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0,I3=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0,且|I1||I3|,所以I3I10I2,故选C.10.(2018全国Ⅲ,理13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=.答案:解析:2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ).由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=11.在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(λ∈R),且⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-4,则λ的值为.答案:解析:⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗又⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,∠A=60°,AB=3,AC=2,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-4,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3×2=3,(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=-4,即⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(-)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-4,4-9+(-)3=-4,即-5=-4,解得λ=12.设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=.答案:-1解析:∵(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i∈R,∴a+1=0,即a=-1.13.设a∈R,i为虚数单位.若复数z=a-2+(a+1)i是纯虚数,则复数--在复平面上对应的点的坐标为.答案:(-)解析:因为z=a-2+(a+1)i是纯虚数,所以a-2=0,且a+1≠0,解得a=2,所以----i,其在复平面上对应的点的坐标为(-)414.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,|AD|=|AB|,|BE|=|BC|.若⃗⃗⃗⃗⃗=λ1⃗⃗⃗⃗⃗+λ2⃗⃗⃗⃗⃗(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为.答案:解析:由题意⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=-⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,故λ1=-,λ2=,即λ1+λ2=二、思维提升训练15.在正方形ABCD中,若E为CD的中点,点F为CB上靠近点C的三等分点,O为AC与BD的交点,则⃗⃗⃗⃗⃗⃗=()A.-⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.-⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.-⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.-⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗答案:A解析:如图所示,以D为原点,DC,DA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.设AB=6,则A(0,6),B(6,6),O(3,3),E(3,0),F(6,2),D(0,0),⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(6,6),⃗⃗⃗⃗⃗=(3,-6),⃗⃗⃗⃗⃗=(3,-1).设⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m⃗⃗⃗⃗⃗+n⃗⃗⃗⃗⃗,则{--解得{-故⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗16.已知⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,|⃗⃗⃗⃗⃗|=,|⃗⃗⃗⃗⃗|=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最大值等于()A.13B.15C.19D.21答案:A解析:以点A为原点,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图,5则A(0,0),B(),C(0,t),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0)+4(0,1)=(1,4),∴点P的坐标为(1,4),⃗⃗⃗⃗⃗(--)⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,t-4),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1--4t+16=-()+17≤-4+17=13.当且仅当=4t,即t=时取“=”,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为13.17.已知两点M(-3,0),N(3,0),点P为坐标平面内一动点,且|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,则动点P(x,y)到点M(-3,0)的距离d的最小值为()A.2B.3C.4D.6答案:B解析:因为M(-3,0),N(3,0),所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(6,0),|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=6,⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x+3,y),⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x-3,y).由|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,得6√+6(x-3)=0,化简得y2=-12x,所以点M是抛物线y2=-12x的焦点,所以点P到M的距离的最小值就是原点到M(-3,0)的距离,所以dmin=3.18.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.答案:42√解析:设向量a,b的夹角为θ,由余弦定理,得|a-b|=√-√-,|a+b|=√--√,则|a+b|+|a-b|=√√-令y=√√-,6则y2=10+2√-[16,20],据此可得(|a+b|+|a-b|)max=√=2√,(|a+b|+|a-b|)min=√=4.即|a+b|+|a-b|的最小值是4,最大值是2√19.(2019全国Ⅲ,理13)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-√b,则cosa,c=.答案:解析:∵a,b为单位向量,∴|a|=|b|=1.又a·b=0,c=2a-√b,∴|c|2=4|a|2+5|b|2-4√a·b=9,∴|c|=3.又a·c=2|a|2-√a·b=2,∴cosa,c=20.已知a∈R,i为虚数单位,若-为实数,则a的值为.答案:-2解析:-----i为实数,∴-=0,即a=-2.