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1专题能力训练9三角函数的图象与性质专题能力训练第24页一、能力突破训练1.为了得到函数y=sin(-)的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度答案:D解析:由题意,为得到函数y=sin(-)=sin[(-)],只需把函数y=sin2x的图象上所有点向右平移个单位长度,故选D.2.若函数f(x)=sinωx+√cosωx(x∈R),又f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值为,则正数ω的值是()ABCD答案:D解析:因为f(x)=2sin()(x∈R),所以函数f(x)的最大值为2,最小值为-2.由已知f(α)=-2,f(β)=0,得(α,-2)为函数f(x)的图象上的一个最低点,(β,0)为一个对称中心,故|α-β|的最小值等于周期的,即,所以T=3π,所以ω=3.若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为()A.x=(k∈Z)B.x=(k∈Z)C.x=(k∈Z)D.x=(k∈Z)答案:B解析:由题意可知,将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度得y=2sin[()]=2sin()的图象.令2x++kπ(k∈Z),得x=(k∈Z).故选B.4.(2018全国Ⅱ,理10)若f(x)=cosx-sinx在区间[-a,a]上是减函数,则a的最大值是()2ABCD.π答案:A解析:f(x)=√cos()的图象如图所示,要使f(x)在区间[-a,a]上为减函数,a的最大值为5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)()的图象关于直线x=对称,若它的最小正周期为π,则函数f(x)的图象的一个对称中心是()A()B()C()D(-)答案:B解析:由题意知T=π,则ω=2.由函数f(x)的图象关于直线x=对称,得2+φ=+kπ(k∈Z),即φ=-+kπ(k∈Z).∵|φ|,∴φ=-,∴f(x)=Asin(-)令2x-=kπ(k∈Z),则x=(k∈Z).∴函数f(x)的图象的一个对称中心为()故选B.6.若函数f(x)=2sin(x+2θ)cosx0θ的图象过点(0,2),则()A.点()是y=f(x)图象的一个对称中心B.直线x=是y=f(x)图象的一条对称轴C.函数y=f(x)的最小正周期是2πD.函数y=f(x)的值域是[0,2]答案:D3解析:∵函数f(x)=2sin(x+2θ)cosx0θ的图象过点(0,2),∴2sin2θ=2,即sin2θ=1,∴2θ=,∴θ=,∴f(x)=2sin(x+2θ)cosx=2cos2x=cos2x+1,当x=时,f(x)=1,故A,B都不正确;f(x)的最小正周期为=π,故C不正确;显然,f(x)=cos2x+1∈[0,2],故D正确.7.定义一种运算:(a1,a2)⊗(a3,a4)=a1a4-a2a3,将函数f(x)=(√,2sinx)⊗(cosx,cos2x)的图象向左平移n(n0)个单位长度所得图象对应的函数为偶函数,则n的最小值为.答案:解析:f(x)=√cos2x-2sinxcosx=√cos2x-sin2x=2cos(),将f(x)的图象向左平移n个单位长度对应的函数解析式为f(x)=2cos[]=2cos(),要使它为偶函数,则需要2n+=kπ(k∈Z),所以n=(k∈Z).因为n0,所以当k=1时,n有最小值8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)()的部分图象如图所示,则f(x)=.答案:√sin()解析:由题意,得A=√,函数f(x)的周期为T=16.∵T=,∴ω=,此时f(x)=√sin()由f(2)=√,即sin()=sin()=1,则+φ=2kπ+,k∈Z,解得φ=2kπ+,k∈Z.4∵|φ|,∴φ=,∴f(x)=√sin()9.已知函数f(x)=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点(),则函数g(x)=λsinxcosx+sin2x的图象的一条对称轴是.(写出其中的一条即可)答案:x=-(答案不唯一)解析:将点()代入f(x)=sinx+λcosx,得λ=-√g(x)=-√sinxcosx+sin2x=-√sin2x+cos2x=-sin(),令2x+=kπ+,k∈Z,得x=,k∈Z.由k=-1,得x=-10.已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2√sinxcosx(x∈R).(1)求f()的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解:(1)由sin√,cos=-,f()(√)(-)-2√√(-),得f()=2.(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sinxcosx得f(x)=-cos2x-√sin2x=-2sin()所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x+kπ,k∈Z,所以,f(x)的单调递增区间是[](k∈Z).11.已知函数f(x)=sin2x-sin2(-),x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-]上的最大值和最小值.解:(1)由已知,有5f(x)=--(-)=(√)cos2x=√sin2x-cos2x=sin(-)所以,f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(x)在区间[--]上是减函数,在区间[-]上是增函数,f(-)=-,f(-)=-,f()√所以f(x)在区间[-]上的最大值为√,最小值为-二、思维提升训练12.下图是函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω0,0≤φ≤π)的部分图象,其中A,B两点之间的距离为5,则f(-1)等于()A.2B√C.-√D.-2答案:A解析:设函数f(x)的最小正周期为T,因为A,B两点之间的距离为5,所以√()=5,解得T=6.所以ω=又f(x)的图象过点(0,1),代入得2sinφ=1,所以φ=2kπ+或φ=2kπ+(k∈Z).又0≤φ≤π,所以φ=或φ=所以f(x)=2sin()或f(x)=2sin()对于函数f(x)=2sin(),当x略微大于0时,有f(x)2sin=1,与图象不符,故舍去.综上,f(x)=2sin()故f(-1)=2sin(-)=2.613.(2019全国Ⅲ,理12)设函数f(x)=sin()(ω0),已知f(x)在区间[0,2π]上有且仅有5个零点,下述四个结论:①f(x)在区间(0,2π)内有且仅有3个极大值点②f(x)在区间(0,2π)内有且仅有2个极小值点③f(x)在区间()内单调递增④ω的取值范围是[)其中所有正确结论的编号是()A.①④B.②③C.①②③D.①③④答案:D解析:∵f(x)=sin()(ω0)在区间[0,2π]上有且仅有5个零点,∴5π≤2πω+6π,解得,故④正确.画出f(x)的图象(图略),由图易知①正确,②不正确.当0x时,ωx+,又,,∴③正确.综上可知①③④正确.故选D.14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω0,0φπ)图象的一条对称轴与相邻的一个对称中心的距离为,将其向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象.若函数g(x)在区间[]上单调递增,则φ的取值范围为()A[]B[]C[]D[]答案:B解析:由题意,得,所以T=π,所以ω==2,所以f(x)=sin(2x+φ).从而g(x)=sin[(-)]=sin(-)7由-+2kπ≤2x+φ-+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x+kπ,k∈Z.要使g(x)在区间[]上单调递增,则需满足{---∈即{--∈解得-+2kπ≤φ≤-+2kπ,k∈Z.又0φπ,当k=1时,可得,符合条件.15.如果两个函数的图象平移后能够重合,那么称这两个函数为“互为生成”函数.给出下列四个函数:①f(x)=sinx+cosx;②f(x)=√(sinx+cosx);③f(x)=sinx;④f(x)=√sinx+√其中为“互为生成”函数的是.(填序号)答案:①④解析:首先化简题中的四个解析式可得:①f(x)=√sin(),②f(x)=2sin(),③f(x)=sinx,④f(x)=√sinx+√可知③f(x)=sinx的图象要与其他的函数图象重合,单纯经过平移不能完成,必须经过伸缩变换才能实现,所以③f(x)=sinx不能与其他函数成为“互为生成”函数;同理①f(x)=√sin()的图象与②f(x)=2sin()的图象也必须经过伸缩变换才能重合,而④f(x)=√sinx+√的图象可以向左平移个单位,再向下平移√个单位即可得到①f(x)=√sin()的图象,所以①④为“互为生成”函数.16.已知函数f(x)=sinx+√cosx,把函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再把图象上各点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象.当x[]时,方程g(x)-k=0恰有两个不同的实根,则实数k的取值范围为.答案:[1,2)8解析:函数f(x)=sinx+√cosx=2sin(),把函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到f1(x)=2sin()的图象,再把函数f1(x)图象上各点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标不变,得到函数g(x)=2sin()的图象.因为x[],所以2x+[]令2x+,解得0≤x,即函数g(x)在区间[]上单调递增;令2x+,解得x,即函数g(x)在区间[]上单调递减,且g(0)=2sin=1,g()=2sin=2,g()=2sin=-1.要使方程g(x)-k=0恰好有两个不同的实根,即y=g(x)的图象与y=k的图象有两个不同的交点,结合图象(图略),可得实数k的取值范围是1≤k2,即[1,2).17.已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cosx的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在区间[0,2π)内有两个不同的解α,β.①求实数m的取值范围;②证明:cos(α-β)=-1.答案:(1)解将g(x)=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cosx的图象,再将y=2cosx的图象向右平移个单位长度后P到y=2cos(-)的图象,故f(x)=2sinx.从而函数f(x)=2sinx图象的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z).(2)①解f(x)+g(x)=2sinx+cosx=√(√√)=√sin(x+φ)(其中√√)依题意,sin(x+φ)=√在区间[0,2π)内有两个不同的解α,β当且仅当|√|1,故m的取值范围是(-√√).②证法一因为α,β是方程√sin(x+φ)=m在区间[0,2π)内的两个不同的解,9所以sin(α+φ)=√,sin(β+φ)=√.当1≤m√时,α+β=2(-),即α-β=π-2(β+φ);当-√m1时,α+β=2(-),即α-β=3π-2(β+φ),所以cos(α-β)=-cos2(β+φ)=2sin2(β+φ)-1=2(√)-1=-1.证法二因为α,β是方程√sin(x+φ)=m在区间[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α+φ)=√,sin(β+φ)=√.当1≤m√时,α+β=2(-),即α+φ=π-(β+φ);当-√m1时,α+β=2(-),即α+φ=3π-(β+φ).所以cos(α+β)=-cos(β+φ).于是cos(α-β)=cos[(α+φ)-(β+φ)==cos(α+φ)cos(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)=-cos2(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)=-[-(√)](√)-1.