导数中的构造法

导数中的构造法探究1：已知函数e()ln,()exxfxmxaxmgx，其中m，a均为实数．设1,0ma，若对任意的12,[3,4]xx12()xx，212111()()()()fxfxgxgx解析：）当1,0ma时，()ln1fxxax，(0,)x．∵()0xafxx在[3,4]恒成立，∴()fx在[3,4]上为增函数．…………………4分设1e()()exhxgxx，∵12e(1)()xxhxx0在[3,4]恒成立，∴()hx在[3,4]上为增函数．…………………5分设21xx，则212111()()()()fxfxgxgx等价于2121()()()()fxfxhxhx，即2211()()()()fxhxfxhx．设1e()()()ln1exuxfxhxxaxx，则u(x)在[3,4]为减函数．∴21e(1)()10exaxuxxx≤在（3，4）上恒成立．…………………6分∴11eexxaxx≥恒成立．设11e()exxvxxx，∵112e(1)()1exxxvxx=121131e[()]24xx，x[3，4]，∴1221133e[()]e1244xx，∴()vx0，()vx为减函数．∴()vx在[3，4]上的最大值为v(3)=322e3．…………………8分∴a≥322e3，∴a的最小值为322e3．…………………9分[来源:学科网][来源:学科网ZXXK][来源:学科网][来源:Z+xx+k.Com]探究2：己知函数21()ln,2fxxaxxaR（1）若(1)0f，求函数()fx的单调递减区间;（2）若关于x的不等式()1fxax恒成立，求整数a的最小值:（3）若2a，正实数12,xx满足1212()()0fxfxxx，证明:12512xx解析．（1）因为(1)102af，所以2a，………………………………………1分此时2()ln,0fxxxxx，2121()21(0)xxfxxxxx………………………………………2分由()0fx，得2210xx，又0x，所以1x．所以()fx的单调减区间为(1,)．…………………………………………4分（2）方法一：令21()()1)ln(1)12gxfxaxxaxax-(，所以21(1)1()(1)axaxgxaxaxx．当0a≤时，因为0x，所以()0gx．所以()gx在(0,)上是递增函数，又因为213(1)ln11(1)12022gaaa，所以关于x的不等式()1fxax≤不能恒成立．……………………………………6分当0a时，21()(1)(1)1()axxaxaxagxxx，[来源:学*科*网Z*X*X*K]令()0gx，得1xa．所以当1(0,)xa时，()0gx；当1(,)xa时，()0gx，因此函数()gx在1(0,)xa是增函数，在1(,)xa是减函数．故函数()gx的最大值为2111111()ln()(1)1ln22gaaaaaaaa．……………………………………………………………………8分令1()ln2haaa，因为1(1)02h，1(2)ln204h，又因为()ha在(0,)a是减函数．所以当2a≥时，()0ha．所以整数a的最小值为2．…………………………………………………………10分方法二：（2）由()1fxax≤恒成立，得21ln12xaxxax≤在(0,)上恒成立，问题等价于2ln112xxaxx≥在(0,)上恒成立．令2ln1()12xxgxxx，只要max()agx≥．…………………………………………6分因为221(1)(ln)2()1()2xxxgxxx，令()0gx，得1ln02xx．设1()ln2hxxx，因为11()02hxx，所以()hx在(0,)上单调递减，不妨设1ln02xx的根为0x．当0(0,)xx时，()0gx；当0(,)xx时，()0gx，所以()gx在0(0,)xx上是增函数；在0(,)xx上是减函数．所以000max020000011ln112()()11(1)22xxxgxgxxxxxx．………………………8分因为11()ln2024h，1(1)02h所以0112x，此时0112x，即max()(1,2)gx．所以2a≥，即整数a的最小值为2．………………………………………………10分（3）当2a时，2()ln,0fxxxxx由1212()()0fxfxxx，即2211122212lnln0xxxxxxxx从而212121212()()ln()xxxxxxxx…………………………………13分令12txx，则由()lnttt得，1()ttt可知，()t在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)上单调递增．所以()(1)1t≥，………………………………………………………15分所以21212()()1xxxx≥，因此12512xx≥成立．…………………………………………………………16分探究3已知函数xaxgxxfln)(,21)(2（1）)()()(xgxfxh若对任意两个不等的正数21,xx都有2)()(2121＞xxxhxh恒成立，求实数a的取值范围（2）若在],1[e存在一点0x，使)(-)()(1)(0'00'0'xgxgxfxf＜成立，求实数a的取值范围