思想方法训练2高中数学分类讨论思想

1思想方法训练2分类讨论思想思想方法训练第4页一、能力突破训练1.已知函数f(x)={--若f(a)=,则实数a=()A.1或√-1B√-1C.1D.3答案:C解析:当a≤4时,f(a)=2a-4==2-3,即a-4=-3,即a=1,符合要求.当a4时,f(a)=-log2(a+1)=,即a+1=-,即a=--10,不符合要求.故a=1.2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2-a2=√bc,且b=√a,则下列关系一定不成立的是()A.a=cB.b=cC.2a=cD.a2+b2=c2答案:B解析:在△ABC中,由余弦定理得cosA=-√√,则A=又b=√a,由正弦定理,得sinB=√sinA=√,则B=或B=当B=时,△ABC为直角三角形,选项C,D成立;当B=时,△ABC为等腰三角形,选项A成立,故选B.3.若a0,且a≠1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),则p,q的大小关系是()A.p=qB.pqC.pqD.当a1时,pq;当0a1时,pq答案:C解析:当0a1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为减函数,∴a3+1a2+1.∴loga(a3+1)loga(a2+1),即pq.当a1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为增函数,2∴a3+1a2+1,∴loga(a3+1)loga(a2+1),即pq.综上可得pq.4.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x,则该双曲线的离心率为()ABC或D或答案:C解析:焦点在x轴上时,,此时离心率e=;焦点在y轴上时,,此时离心率e=,故选C.5.已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,其中λ为常数,则动点M的轨迹不可能是()A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线答案:C解析:不妨设|AB|=2,以AB中点O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,则A(-1,0),B(1,0),设M(x,y),则N(x,0),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,-y),⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x+1,0),⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1-x,0),代入已知式子得λx2+y2=λ,当λ=1时,曲线为A;当λ=2时,曲线为B;当λ0时,曲线为D,所以选C.6.设x,y满足{---且目标函数z=ax+y仅在点(4,1)处取得最大值,则原点O到直线ax-y+17=0的距离d的取值范围是()A.(4√,17]B.(0,4√)C(√]D(√)答案:B解析:由{---作出可行域,如图.因为目标函数z=ax+y仅在点A(4,1)取最大值,3所以当a=0时,z=y在点(0,2)处取最大值,不成立;当a0时,直线z=ax+y的斜率k=-a0,目标函数在点(4,1)处取不到最大值.当a0时,直线z=ax+y的斜率k=-a,且小于直线x+4y-8=0的斜率-,故a综上可知a所以原点O到直线ax-y+17=0的距离d=√4√故选B.7.设Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=2am,则m等于()A.6B.7C.8D.10答案:C解析:∵S3,S9,S6成等差数列,∴2S9=S3+S6.若公比q=1,显然有2S9≠S3+S6,因此q≠1,从而2------,2q9-q6-q3=0,即2q6-q3-1=0,∴q3=-或q3=1(舍去).∵a2+a5=2aM,∴a2(1+q3-2qm-2)=0,1+q3-2qm-2=0,∴qm-2=,∴m=8.8.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,AB=BC=CA=3,SA=SB=SC,球心O到平面ABC的距离为1,则SA与平面ABC所成角的大小为()A.30°B.60°C.30°或60°D.45°或60°答案:C解析:球心位置有以下两种情况:球心在三棱锥内部;球心在三棱锥外部.球心在三棱锥内部时,三棱锥为正三棱锥,设O'为△ABC的中心,在△ABC中,可求得O'A=√,所以可得OA=2,SO'=3,SA与平面ABC所成的角即为∠SAO',由tan∠SAO'=√√,得∠SAO'=60°.同理可得第二种情况中所成角为30°.9.已知函数y=ax(a0,且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,则a的值是.答案:或解析:当a1时,y=ax在区间[1,2]上递增,故a2-a=,得a=;当0a1时,y=ax在区间[1,2]上递减,故a-a2=,得a=故a=或a=10.某市政府决定派遣8名干部(5男3女)分成两个小组,到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作.若要求每组至少3人,且女干部不能单独成组,则不同的派遣方案共有种.(用数字作答)4答案:180解析:由题意,派遣8名干部分成两个小组,每组至少3人,可得分组的方案有3,5和4,4两类.第一类有(-1)=110种;第二类有=70种,故共有N=110+70=180种不同的方案.11.已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求{an}的通项公式;(2)设cn=(-1)nan+bn,求数列{cn}的前n项和Sn.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,由{得{∴bn=b1qn-1=3n-1.又a1=b1=1,a14=b4=34-1=27,∴1+(14-1)d=27,解得d=2.∴an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1.(2)由(1)知an=2n-1,bn=3n-1,因此cn=(-1)nan+bn=(-1)n(2n-1)+3n-1.当n为偶数时,Sn=-1+3-…+(2n-1)+1+3+…+3n-1=n+--=n+-当n为奇数时,Sn=-1+3-…-(2n-1)+1+3+…+3n-1=-1+(-2)---=-n+-12.设a0,函数f(x)=x2-(a+1)x+a(1+lnx).(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处与直线y=-x+1垂直的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.解:(1)由已知x0,f'(x)=x-(a+1)+因为曲线y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为1,所以f'(2)=1,即2-(a+1)+=1,所以a=0,此时f(2)=2-2=0,故曲线f(x)在(2,f(2))处的切线方程为x-y-2=0.(2)f'(x)=x-(a+1)+---①当0a1时,若x∈(0,a),则f'(x)0,函数f(x)单调递增;若x∈(a,1),则f'(x)0,函数f(x)单调递减;5若x∈(1,+∞),则f'(x)0,函数f(x)单调递增.此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(a)=-a2+alna,极小值是f(1)=-②当a=1时,若x∈(0,1),则f'(x)0,若x=1,则f'(x)=0,若x∈(1,+∞),则f'(x)0,所以函数f(x)在定义域内单调递增,此时f(x)没有极值点,也无极值.③当a1时,若x∈(0,1),则f'(x)0,函数f(x)单调递增;若x∈(1,a),则f'(x)0,函数f(x)单调递减;若x∈(a,+∞),则f'(x)0,函数f(x)单调递增,此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(1)=-,极小值是f(a)=-a2+alna.综上,当0a1时,f(x)的极大值是-a2+alna,极小值是-;当a=1时,f(x)无极值;当a1时,f(x)的极大值是-,极小值是-a2+alna.二、思维提升训练13.若直线l过点P(--)且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则直线l的方程为()A.3x+4y+15=0B.x=-3或y=-C.x=-3D.x=-3或3x+4y+15=0答案:D解析:若直线l的斜率不存在,则该直线的方程为x=-3,代入圆的方程解得y=±4,故直线l被圆截得的弦长为8,满足条件;若直线l的斜率存在,不妨设直线l的方程为y+=k(x+3),即kx-y+3k-=0,因为直线l被圆截得的弦长为8,故半弦长为4,又圆的半径为5,则圆心(0,0)到直线l的距离为√-|-|√,解得k=-,此时直线l的方程为3x+4y+15=0.14.已知函数f(x)={-则方程f(x)=ax恰有两个不同实数根时,实数a的取值范围是(注:e为自然对数的底数)()A.(-1,0]B(-)C.(-1,0][)D(-)答案:C6解析:因为方程f(x)=ax恰有两个不同的实数根,所以y=f(x)与y=ax的图象有2个交点,a表示直线y=ax的斜率.当a0,x1时,y'=设切点为(x0,y0),k=,所以切线方程为y-y0=(x-x0),而切线过原点,所以y0=1,x0=e2,k=,所以切线l1的斜率为设过原点与y=x+1平行的直线为l2,则直线l2的斜率为,所以当直线在l1和l2之间时,符合题意,此时实数a的取值范围是[)当a0时,设过原点与点(1,-1)的直线为l3,其斜率为-1,则在l3的位置以O为中心逆时针旋转一直转到水平位置都符合题意,此时实数a的取值范围是(-1,0].综上所述,实数a的取值范围是(-1,0][),故选C.15.设关于x的函数g(x)=-2sin2x-2acosx-2a+1的最小值为h(a),则满足h(a)=的a的值为.答案:-1解析:g(x)=-2sin2x-2acosx-2a+1=2cos2x-2acosx-(2a+1).令cosx=t,可得t∈[-1,1],换元可得y=2t2-2at-(2a+1),可看作关于t的二次函数,其图象为开口向上的抛物线,对称轴为t=,当-1,即a-2时,函数y在区间[-1,1]上单调递增,故ymin=2+2a-2a-1=1,即g(x)min=1;当1,即a2时,函数y在区间[-1,1]上单调递减,故ymin=2-2a-2a-1=1-4a,即g(x)min=-4a+1=,得a=,与a2矛盾;当-11,即-2≤a≤2时,ymin=2()-2a-(2a+1)=--2a-1,即g(x)min=--2a-1=,变形可得a2+4a+3=0,解得a=-1(a=-3舍去).综上可得,满足h(a)=的a的值为-1.16.已知函数f(x)=alnx+x2(a为实数).7(1)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值及相应的x值;(2)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围.解:(1)f(x)=alnx+x2的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2x=当x∈[1,e]时,2x2∈[2,2e2].若a≥-2,则f'(x)在区间[1,e]上非负(仅当a=-2,x=1时,f'(x)=0),故f(x)在区间[1,e]上单调递增,此时f(x)min=f(1)=1;若-2e2a-2,令f'(x)0,解得1≤x√-,此时f(x)单调递减;令f'(x)0,解得√-x≤e,此时f(x)单调递增,所以f(x)min=f(√-)ln(-);若a≤-2e2,f'(x)在区间[1,e]上非正(仅当a=-2e2,x=e时,f'(x)=0),故f(x)在区间[1,e]上单调递减,此时f(x)min=f(e)=a+e2.综上所述,当a≥-2时,f(x)min=1,相应的x=1;当-2e2a-2时,f(x)min=ln(-),相应的x=√-;当a≤-2e2时,f(x)min=a+e2,相应的x=e.(2)不等式f(x)≤(a+2)x可化为a(x-lnx)≥x2-2x.由x∈[1,e],知lnx≤1≤x且等号不能同时成立,得lnxx,即x-lnx0,因而a--,x∈[1,e],令g(x)=--(x∈[1,e]),则g'(x)=---,当x∈[1,e]时,x-1≥0,lnx≤1,x+2-2lnx0,从而g'(x)≥0(仅当x=1时取等号),所以g(x)在区间[1,e]上是增函数,故g(x)min=g