思想方法训练3高中数学数形结合思想

1思想方法训练3数形结合思想思想方法训练第6页一、能力突破训练1.若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,则复数对应的点位于复平面内的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:D解析:由题图知,z=2+i,则--i,则对应的点位于复平面内的第四象限.故选D.2.设全集U={x|x≤8,x∈N*},若A⊆U,B⊆U,B∩(∁UA)={2,6},A∩(∁UB)={1,8},(∁UA)∩(∁UB)={4,7},则()A.A={1,6},B={2,8}B.A={1,3,5,6},B={2,3,5,8}C.A={1,6},B={2,3,5,8}D.A={1,3,5,8},B={2,3,5,6}答案:D解析:根据题意可作出Venn图如图所示,由图可知A={1,3,5,8},B={2,3,5,6}.3.若变量x,y满足{--则(x-2)2+y2的最小值为()A√B√CD.5答案:D解析:如图,作出不等式组所表示的可行域(阴影部分).2设z=(x-2)2+y2,则z的几何意义为可行域内的点到定点D(2,0)的距离的平方,由图象可知,C,D两点间的距离最小,此时z最小,由{-可得{即C(0,1).所以zmin=(0-2)2+12=4+1=5.4.若函数f(x)=(a-x)|x-3a|(a0)在区间(-∞,b]上取得最小值3-4a时所对应的x的值恰有两个,则实数b的值等于()A.2±√B.2-√或6-3√C.6±3√D.2+√或6+3√答案:D解析:结合函数f(x)的图象(图略)知,3-4a=-a2,即a=1或a=3.当a=1时,-b2+4b-3=-1(b3),解得b=2+√;当a=3时,-b2+12b-27=-9(b9),解得b=6+3√,故选D.5.已知函数f(x)={-若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是()A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)答案:C解析:作出f(x)的大致图象.由图象知,要使f(a)=f(b)=f(c),不妨设abc,则-lga=lgb=-c+6.∴lga+lgb=0,∴ab=1,∴abc=c.由图知10c12,∴abc∈(10,12).6.已知函数f(x)=与g(x)=x3+t,若f(x)与g(x)图象的交点在直线y=x的两侧,则实数t的取值范围是()A.(-6,0]B.(-6,6)C.(4,+∞)D.(-4,4)答案:B解析:如图,由题知,若f(x)=与g(x)=x3+t图象的交点位于y=x两侧,则有{--解得-6t6.37.(2019全国Ⅱ,理9)下列函数中,以为周期且在区间内单调递增的是()A.f(x)=|cos2x|B.f(x)=|sin2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|答案:A解析:y=|cos2x|的图象为,由图知y=|cos2x|的周期为,且在区间内单调递增,符合题意;y=|sin2x|的图象为,由图知它的周期为,但在区间内单调递减,不符合题意;因为y=cos|x|=cosx,所以它的周期为2π,不符合题意;y=sin|x|的图象为,由图知其不是周期函数,不符合题意.故选A.8.在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为.答案:-解析:在同一坐标系中画出y=2a和y=|x-a|-1的图象如图.由图可知,要使两函数的图象只有一个交点,则2a=-1,a=-9.函数f(x)=2sinxsin()-x2的零点个数为.答案:24解析:f(x)=2sinxsin()-x2=2sinxcosx-x2=sin2x-x2.如图,在同一平面直角坐标系中作出y=sin2x与y=x2的图象,当x≥0时,两图象有2个交点,当x0时,两图象无交点,综上,两图象有2个交点,即函数的零点个数为2.10.如图,△ABC是等腰直角三角形,斜边AB=2,D为直角边BC上一点(不含端点).将△ACD沿直线AD折叠至△AC1D的位置,使得点C1在平面ABD外,若点C1在平面ABD上的射影H恰好在线段AB上,则AH的取值范围是.答案:(1,√)解析:在等腰直角三角形ABC中,斜边AB=2,D为直角边BC上的一点,故AC=BC=√,∠ACB=90°.设AH=x,∴AC1=AC=√,CD=C1D∈(0,√),∠AC1D=90°,C1H⊥平面ABC,∴AHAC1=√当CD√时,AHAB=1.∴AH的取值范围是(1,√).11.已知λ∈R,函数f(x)={--当λ=2时,不等式f(x)0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是.答案:(1,4)(1,3]∪(4,+∞)解析:当λ=2时,f(x)={--当x≥2时,f(x)=x-40,解得x4,∴2≤x4.当x2时,f(x)=x2-4x+30,解得1x3,∴1x2.综上可知,1x4,即f(x)≤0的解集为(1,4).分别画出y1=x-4和y2=x2-4x+3的图象如图,5由函数f(x)恰有2个零点,结合图象可知1λ≤3或λ4.故λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).12.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)()的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)设g(x)=[(-)],求函数g(x)在x[-]上的最大值,并确定此时x的值.解:(1)由题图知A=2,,则=4,得ω=又f(-)=2sin[(-)]=2sin(-)=0,∴sin(-)=0.∵0φ,-φ-,∴φ-=0,即φ=,∴f(x)的解析式为f(x)=2sin()(2)由(1)可得f(-)=2sin[(-)]=2sin(),6g(x)=[(-)]=4-()=2-2cos()∵x[-],∴-3x+,∴当3x+=π,即x=时,g(x)max=4.二、思维提升训练13.已知函数f(x)={--函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R,若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是()A()B(-)C()D()答案:D解析:由f(x)={--得f(x)={--f(2-x)={--------{-所以f(x)+f(2-x)={-因为函数y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b恰有4个零点,所以函数y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.画出函数y=f(x)+f(2-x)的图象,如图.由图可知,当b()时,函数y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.故选D.14.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,则a的取值范围是()A[-)B[-)7C[)D[)答案:D解析:设g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)0即为g(x)h(x).因为g'(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),当x-时,g'(x)0,函数g(x)单调递减;当x-时,g'(x)0,函数g(x)单调递增.所以g(x)的最小值为g(-)而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.显然,当a≤0时,满足不等式g(x)h(x)的整数有无数多个.函数g(x)=ex(2x-1)的图象与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交点为D()取点C(--)由图可知,不等式g(x)h(x)只有一个整数解时,须满足kPC≤akPA.而kPC=-(-)--,kPA=---=1,所以a1.故选D.15.在锐角三角形ABC中,B=60°,|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2,则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围为()A.(0,12)B[-)C.(0,4]D.(0,2]答案:A解析:以B为原点,BA所在直线为x轴建立平面直角坐标系.8∵B=60°,|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|⃗⃗⃗⃗⃗|=2,∴C(1,√).设A(x,0),∵△ABC是锐角三角形,∴A+C=120°,∴30°A90°,即点A在如图所示的线段DE上(不与D,E重合),∴1x4.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x2-x=(-),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围为(0,12).16.三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.(1)记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是;(2)记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是.答案:(1)Q1(2)p2解析:(1)连接A1B1,A2B2,A3B3,分别取线段A1B1,A2B2,A3B3的中点C1,C2,C3,显然Ci的纵坐标即为第i名工人一天平均加工的零件数,由图可得点C1最高,故Q1,Q2,Q3中最大的是Q1.(2)设某工人上午、下午加工的零件数分别为y1,y2,工作时间分别为x1,x2,则该工人这一天中平均每小时加工的零件数为p==kOC(C为点(x1,y1)和(x2,y2)的中点),由图可得,故p1,p2,p3中最大的是p2.17.设函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-lnx(a,b∈R),已知它们的图象在x=1处的切线互相平行.(1)求b的值;(2)若函数F(x)={且方程F(x)=a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围.9解:函数g(x)=bx2-lnx的定义域为(0,+∞).(1)f'(x)=3ax2-3a⇒f'(1)=0,g'(x)=2bx-⇒g'(1)=2b-1,依题意2b-1=0,得b=(2)当x∈(0,1)时,g'(x)=x-0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)=x-0.所以当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=当a=0时,方程F(x)=a2不可能有且仅有四个解.当a0,x∈(-∞,-1)时,f'(x)0,当x∈(-1,0)时,f'(x)0,所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=2a,又f(0)=0,所以F(x)的图象如图①所示.从图象可以看出F(x)=a2不可能有四个解.当a0,x∈(-∞,-1)时,f'(x)0,当x∈(-1,0)时,f'(x)0,所以当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2a.又f(0)=0,所以F(x)的图象如图②所示.从图象看出方程F(x)=a2有四个解,则a22a,所以实数a的取值范围是(√)图①图②