思想方法训练4高中数学转化与化归思想

1思想方法训练4转化与化归思想思想方法训练第8页一、能力突破训练1.已知M={(x,y)|y=x+a},N={(x,y)|x2+y2=2},且M∩N=⌀,则实数a的取值范围是()A.a2B.a-2C.a2或a-2D.-2a2答案:C解析:M∩N=⌀等价于方程组{无解.把y=x+a代入到方程x2+y2=2中,消去y,得到关于x的一元二次方程2x2+2ax+a2-2=0,①由题易知一元二次方程①无实根,即Δ=(2a)2-4×2×(a2-2)0,由此解得a2或a-2.2.已知e1,e2是两个单位向量,且夹角为,则e1+te2与te1+e2的数量积的最小值为()A.-B.-√CD√答案:A解析:∵(e1+te2)·(te1+e2)=t+(t2+1)e1·e2+t=t+(t2+1)|e1||e2|cos+tt2+2t+(t+2)2-,∴当t=-2时,可得最小值为-3.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[],则点P横坐标的取值范围为()A[--]B.[-1,0]C.[0,1]D[]答案:A解析:设P(x0,y0),倾斜角为α,0≤tanα≤1,y=f(x)=x2+2x+3,f'(x)=2x+2,0≤2x0+2≤1,-1≤x0≤-,故选A.4.(2018北京,理7)在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d的最大值为()A.1B.2C.3D.42答案:C解析:设P(x,y),则{x2+y2=1.即点P在单位圆上,点P到直线x-my-2=0的距离可转化为圆心(0,0)到直线x-my-2=0的距离加上(或减去)半径,所以距离最大为d=1+-√=1+√当m=0时,dmax=3.5.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=3,且f(x)的导数f'(x)在R上恒有f'(x)2(x∈R),则不等式f(x)2x+1的解集为()A.(1,+∞)B.(-∞,-1)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)答案:A解析:设F(x)=f(x)-2x-1,则F'(x)=f'(x)-20,得F(x)在R上是减函数.又F(1)=f(1)-2-1=0,即当x1时,F(x)0,不等式f(x)2x+1的解集为(1,+∞),故选A.6.已知函数f(x)=ax3+bsinx+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则f(lg(lg2))=()A.-5B.-1C.3D.4答案:C解析:因为lg(log210)+lg(lg2)=lg(log210×lg2)=lg()=lg1=0,所以lg(lg2)=-lg(log210).设lg(log210)=t,则lg(lg2)=-t.由条件可知f(t)=5,即f(t)=at3+bsint+4=5,所以at3+bsint=1,所以f(-t)=-at3-bsint+4=-1+4=3.7.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.答案:(-13,13)解析:若圆上有四个点到直线的距离为1,则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d1.∵d=√,∴0≤|c|13,即c∈(-13,13).8.已知函数f(x)=2x-2-x,若不等式f(x2-ax+a)+f(3)0对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.答案:(-2,6)解析:f(x)=2x-2-x为奇函数且在R上为增函数,所以f(x2-ax+a)+f(3)0⇒f(x2-ax+a)-f(3)⇒f(x2-ax+a)f(-3)⇒x2-ax+a-3对任意实数x恒成立,即Δ=a2-4(a+3)0⇒-2a6,所以实数a的取值范围是(-2,6).9.已知函数f(x)=sin2x+√mcos2x-√m+n(m0).(1)求函数f(x)的单调递减区间;3(2)设x[],f(x)的最小值是1-√,最大值是3,求实数m,n的值.解:(1)f(x)=sin2x+√mcos2x-√m+n=sin2x+√m(2cos2x-1)+n=m(√)+n=msin()+n.∵m0,∴由2kπ+2x+2kπ+,k∈Z,即kπ+x≤kπ+,k∈Z,可知函数f(x)的单调递减区间为kπ+,kπ+,k∈Z.(2)当x[]时,2x+[],则-√sin()1.∵f(x)的最小值是1-√,最大值是3,∴f(x)的最大值为m+n=3,最小值为-√m+n=1-√,得m=2,n=1.10.已知函数f(x)=x3-2ax2-3x.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(2)已知对一切x∈(0,+∞),af'(x)+4a2x≥lnx-3a-1恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)由题意知当a=0时,f(x)=x3-3x,所以f'(x)=2x2-3.又f(3)=9,f'(3)=15,所以曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为15x-y-36=0.(2)f'(x)=2x2-4ax-3,则由题意得2ax2+1≥lnx,即a-在x∈(0,+∞)时恒成立.设g(x)=-,则g'(x)=-,当0x时,g'(x)0;当x时,g'(x)0,所以当x=时,g(x)取得最大值,且g(x)max=,4故实数a的取值范围为[)二、思维提升训练11.已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为抛物线上的动点,又点A(-1,0),则的最小值是()AB√C√D√答案:B解析:显然点A为准线与x轴的交点,如图,过点P作PB垂直准线于点B,则|PB|=|PF|.=sin∠PAB.设过A的直线AC与抛物线切于点C,则0∠BAC≤∠PAB,∴sin∠BAC≤sin∠PAB.设切点为(x0,y0),则=4x0,又=y'√,解得{C(1,2),|AC|=2√∴sin∠BAC=√√,的最小值为√故应选B.12.设F1,F2分别是双曲线=1(a0,b0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,O为坐标原点,且|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|,则该双曲线的离心率为()A√+1B√C√√D√√答案:A解析:如图,取F2P的中点M,则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2⃗⃗⃗⃗⃗⃗又由已知得2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,即⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗5又OM为△F2F1P的中位线,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗在△PF1F2中,2a=|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|-|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=(√-1)|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|,由勾股定理,得2c=2|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|.∴e=√-√+1.13.已知各项均为正数的数列{an}和{bn}满足an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列,且a1=1,a2=3,则数列{an}的通项公式为.答案:an=解析:由题设可得2bn=an+an+1,an+1=√,故an=√-,代入2bn=an+an+1,得2bn=√-√,即2√√-√,则{√}是等差数列.∵a1=1,a2=3,∴2b1=4,即b1=2.∴b2=∴{√}的公差d=√√√√√,√√+(n-1)√√,即√√√√∴an+1=√an=14.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,若∀x∈R,f(x)0或g(x)0,则m的取值范围是.答案:(-4,0)解析:将问题转化为g(x)0的解集的补集是f(x)0的解集的子集求解.∵g(x)=2x-20,∴x1.又∀x∈R,f(x)0或g(x)0,∴[1,+∞)是f(x)0的解集的子集.又由f(x)=m(x-2m)(x+m+3)0知m不可能大于等于0,因此m0.当m0时,f(x)0,即(x-2m)(x+m+3)0,若2m=-m-3,即m=-1,此时f(x)0的解集为{x|x≠-2},满足题意;若2m-m-3,即-1m0,此时f(x)0的解集为{x|x2m或x-m-3},依题意2m1,即-1m0;若2m-m-3,即m-1,此时f(x)0的解集为{x|x2m或x-m-3},依题意-m-31,m-4,即-4m-1.综上可知,满足条件的m的取值范围是-4m0.15.已知函数f(x)=elnx,g(x)=f(x)-(x+1)(e=2.718……).6(1)求函数g(x)的极大值;(2)求证:1++…+ln(n+1)(n∈N*).答案:(1)解∵g(x)=f(x)-(x+1)=lnx-(x+1),∴g'(x)=-1(x0).令g'(x)0,解得0x1;令g'(x)0,解得x1.∴函数g(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,∴g(x)极大值=g(1)=-2.(2)证明由(1)知x=1是函数g(x)的极大值点,也是最大值点,∴g(x)≤g(1)=-2,即lnx-(x+1)≤-2⇒lnx≤x-1(当且仅当x=1时等号成立).令t=x-1,得t≥ln(t+1),取t=(n∈N*),则ln()=ln(),∴1ln2,lnln,…,ln(),叠加得1++…+ln(…)=ln(n+1).