数列综合能力专题

数列综合能力专题1.设等差数列na的前n项和为nS，若存在正整数,mnmn，使得mnSS，则0mnS.类比上述结论，设正项等比数列nb的前n项积为nT，若存在正整数,mnmn，使得mnTT，则mnT1.2.已知函数56(4)462xaxfxaxx,数列na满足Nnnfan，且数列na是单调递增数列，则实数a的取值范围是____4,8___．3．函数f(x)=241x(x∈R)，若1xx21，则f(x1)＋f(x2)=21又若n∈N＋时，)nnf()n1nf(......)n2f()n1f(－=________。∵1xx21，∴f(x1)＋f(x2)=4)44(2444424124121212121xxxxxxxx=21)444(24442121xxxx设Sn=)nnf()n1nf(......)n2f()n1f(－，∴Sn=)n1nf(－＋f(n2n)＋……＋f(n1)＋f(nn)二式相加，得2Sn=311n21(∵1xx21∴f(x1)＋f(x2)=21)，∴Sn=1n31214.已知数列｛an｝共有m项，记｛an｝的所有项和为s(1)，第二项及以后所有项和为s(2)，第三项及以后所有项和为s(3)，…，第n项及以后所有项和为s(n)，若s(n)是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，则当nm时，an=.12n5.已知数列、中，对任何正整数都有：．（1）若数列是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列是等比数列；（2）若数列是等比数列，数列是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；{}na{}nbn11213212122nnnnnnabababababn{}na{}nb{}nb{}na解：（1）依题意数列的通项公式是，故等式即为，同时有，两式相减可得.可得数列的通项公式是，知数列是首项为1，公比为2的等比数列。（2）设等比数列的首项为，公比为，则，从而有：，又，故，，要使是与无关的常数，必需，即①当等比数列的公比时，数列是等差数列，其通项公式是；②当等比数列的公比不是2时，数列不是等差数列．6.已知等差数列的首项为a，公差为b，等比数列的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且．（1）求a的值；（2）若对于任意的Nn，总存在Nm，使得成立，求b的值；（3）令，问数列中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．解：（1）由已知，得．由，得．因a，b都为大于1的正整数，故a≥2．又，故b≥3．……………2分再由，得．由，故，即．由b≥3，故，解得．……………………4分于是，根据，可得．………………6分（2）由，对于任意的，均存在，使得，则{}nanan1122123(1)22nnnnbbbnbnbn1232123(2)(1)21nnnnbbbnbnbn2n12121nnnbbbb{}nb12nnb{}nb{}nbbq1nnbbq1231123122nnnnnnbqabqabqabqaban234123121nnnnnbqabqabqaban2n1(21)22nnnnqban2122nnqqqanbbb1nnaan2q{}nb2q{}nannab{}nb{}na{}na{}nb1123,abba3mnab1nnnCab{}nC1(1),nnnaanbbba1123,abba,2abababba2abab(2)ababa(2)abb(3)0ab30a3a23a≤aN2a2anNmN1(1)52nbmbf(1,1)f(1,2)…f(1,n－1)f(1,n)f(2,1)f(2,2)…f(2,n－1)f(3,1)…f(3,n－2)…f(n,1)．又，由数的整除性，得b是5的约数．故，b=5．所以b=5时，存在正自然数满足题意．………………9分（3）设数列中，成等比数列，由，，得．化简，得．（※）…………11分当时，时，等式（※）成立，而，不成立．…12分当时，时，等式（※）成立．………………………13分当时，，这与b≥3矛盾．这时等式（※）不成立．………………………………14分综上所述，当时，不存在连续三项成等比数列；当时，数列中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50．………………16分7.一个三角形数表按如下方式构成：第一行依次写上n(n≥4)个数，在上一行的每相邻两数的中间正下方写上这两数之和，得到下一行，依此类推．记数表中第i行的第j个数为f(i,j)．(1)若数表中第i(1≤i≤n－3)行的数依次成等差数列，求证：第i+1行的数也依次成等差数列；(2)已知f(1,j)=4j，求f(i,1)关于i的表达式；(3)在(2)的条件下，若f(i,1)=(i+1)(ai－1)，bi=1aiai+1，试求一个函数g(x)，使得Sn=b1g(1)+b2g(2)+…+bng(n))＜13，且对于任意的m∈(14,13)，均存在实数，使得当n＞时，都有Snm.1(21)5nbm3b≥1211nm12nm{}nC12,,nnnCCC122nnCnbb212()nnnCCC211(22)(22)(222)nnnnbbbnbbnbbb12(2)2nnbnb1n1b3b≥2n4b3n≥112(2)2(2)24nnnbnbnbb≥4b4b{}nC解(1)数表中第1i行的数依次所组成数列的通项为1,fij，则由题意可得1,11,,1,2,(,1)fijfijfijfijfijfij…（2分）,2,fijfij2d(其中d为第i行数所组成的数列的公差)(4分)(2)1,4fjj第一行的数依次成等差数列，由(1)知，第2行的数也依次成等差数列，依次类推，可知数表中任一行的数(不少于3个)都依次成等差数列.………………（5分）设第i行的数公差为id,则12iidd，则11112422iiiidd……………（6分）所以,11,11,221,12ififififi1222,122iifi222,122ifi121,112iifi12412iii121212iiiii(10分)(3)由,111ifiia，可得,11211iifiai所以11iiibaa112121ii=111122121iii………………（11分）令2igi,则1112121iiibgi,所以111321nnS13…………（13分）要使得nSm，即111321nm，只要111213nm=133m，11,34m，10134m，所以只要132113nm,即只要23log1113nm,所以可以令23log1113m则当n时，都有nSm.所以适合题设的一个函数为2xgx(16分)8.已知数列a,b,c为各项都是正数的等差数列，公差为d（d0)，在a,b之间和b,c之间共插入m个实数后，所得到的m+3个数所组成的数列na是等比数列，其公比为q.(1)若a=1,m=1,求公差d；(2)若在a,b之间和b,c之间所插入数的个数均为奇数，求所插入的m个数的乘积（用a,c,m表示）(3)求证：q是无理数。（1）由1a，且等差数列cba,,的公差为d，可知dcdb21,1，若插入的一个数在ba,之间，则21qd，321qd，消去q可得32)1()21(dd，其正根为251d．………………………………2分若插入的一个数在cb,之间，则qd1，321qd，消去q可得3)1(21dd，此方程无正根．故所求公差251d．………4分（2）设在ba,之间插入l个数，在cb,之间插入t个数，则mtl，在等比数列}{na中，∵cacabaaaml321,2,，,4,3,2(314kacaaaamkmk…，)2m，∴32(aa…))(()132222mmmaaaaa…12231)())((mmmacaaaa………………8分又∵01abql，01bcqt，tl,都为奇数，∴q可以为正数，也可以为负数．①若q为正数，则32aa…212)(mmaca，所插入m个数的积为123222()mmaaaacbac；②若q为负数，,,32aa…2,ma中共有12m个负数，当2m是奇数，即kkm(24N*)时，所插入m个数的积为123222()mmaaaacbac；当2m是偶数，即kkm(4N*）时，所插入m个数的积为123222()mmaaaacbac．综上所述，当kkm(24N*)时，所插入m个数的积为123222()mmaaaacbac；当kkm(4N*）时，所插入m个数的积为123222()mmaaaacbac．…………10分注：可先将,,32aa…2,ma用a和q表示，然后再利用条件消去q进行求解．（3）∵在等比数列}{na，由adaabql1，可得adql11，同理可得adqm212，∴)1(2112lmqq，即1212lmqq)(lm，…………………………12分假设q是有理数，若q为整数，∵cba,,是正数，且0d，∴1||q，在1221mlqq中，∵212mlqq是q的倍数，故1也是q的倍数，矛盾．若q不是整数，可设xyq（其中yx,为互素的整数，1x），则有1)(2)(12lmxyxy，即)2(1112lllmmxyxy，∵lm，可得11lm，∴2my是x的倍数，即y是x的倍数，矛盾．∴q是无理数．……………………………………16分9．若na是等比数列，11a，公比为q，1q,Rq.设数列nb满足nnaaab21，设数列nc满足nnbbbc21，设数列nd满足nncccd21.（1）493c，求数列na的公比q的值；（2）求证：数列nb中，任意连续三项依次既不成等差数列，也不成等比数列；（3）对于数列nd中任意连续的若干项与等差数列的关系，请提出一个你认为有价值的猜想，并试着证明你的猜想。解：（1）11b，qb12，231qqb，所以2323qqc.……2分所以492323qqc，解得21q或23.……4分（2）设21,,nnnbbb为连续三项，1q，qqbnn11，则212nnnbbbqqqqqqnnn11111)1(22101)1(2qqqn，21,,nnnbbb依次不成等差数列。……7分221nnnbbbqqqqqqnnn1111112210)1()1(22qqqn，21,,nnnbbb依次不成等比数列。……10分（3）注：本题根据