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1题型练10大题综合练(二)题型练第76页一、解答题1.已知数列{bn}的前n项和为Sn,Sn+bn=2,等差数列{an}满足b1a2=3,b1+a5=7.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)证明:a1b2+a2b3+…+anbn+13.答案：(1)解∵Sn+bn=2,∴当n=1时,b1=S1=2-b1,∴b1=1.当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=2-bn-2+bn-1,整理得bn=bn-1.∴数列{bn}是以1为首项,为公比的等比数列,∴bn=()-设等差数列{an}的公差为d,∵b1a2=3,b1+a5=7,{解得{∴an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×1=n+1.(2)证明设Tn=a1b2+a2b3+…+anbn+1=2+3()+…+(n+1)(),Tn=2()+3()+…+(n+1)(),两式相减可得Tn=1+()()+…+()-(n+1)()=1-(n+1)()(--)-∴Tn=3-,即a1b2+a2b3+…+anbn+1=3-0,∴a1b2+a2b3+…+anbn+13.2.(2019全国Ⅱ,理17)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.2(1)证明:BE⊥平面EB1C1;(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.答案：(1)证明由已知得,B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,所以BE⊥平面EB1C1.(2)解由(1)知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB=45°,故AE=AB,AA1=2AB.以D为坐标原点,⃗⃗⃗⃗⃗的方向为x轴正方向,|⃗⃗⃗⃗⃗|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1),⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,0),⃗⃗⃗⃗⃗=(1,-1,1),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,0,2).设平面EBC的法向量为n=(x,y,z),则{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗即{-所以可取n=(0,-1,-1).设平面ECC1的法向量为m=(x,y,z),则{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗即{-所以可取m=(1,1,0).于是cosn,m==-所以,二面角B-EC-C1的正弦值为√3.某工厂生产A,B两种产品,其质量按测试指标划分,指标大于或等于88为合格品,小于88为次品.现随机抽取这两种产品各100件进行检测,检测结果统计如下:测试指标[80,84)[84,88)[88,92)[92,96)[96,100]产品A61442317产品B81740305(1)试分别估计产品A,B为合格品的概率;3(2)生产1件产品A,若是合格品则盈利45元,若是次品则亏损10元;生产1件产品B,若是合格品则盈利60元,若是次品则亏损15元.在(1)的前提下,①X为生产1件产品A和1件产品B所得的总利润,求随机变量X的分布列和数学期望;②求生产5件产品B所得利润不少于150元的概率.解：(1)由题意知,产品A为合格品的概率约为,产品B为合格品的概率约为(2)①随机变量X的所有可能取值为-25,30,50,105.P(X=-25)=(-)(-);P(X=30)=(-);P(X=50)=(-);P(X=105)=所以随机变量X的分布列为X-253050105PE(X)=(-25)+30+50+105=75.25.②生产的5件产品B中,合格品为3,4,5件时,所得利润不少于150元,记“生产5件产品B所得利润不少于150元”为事件M,则P(M)=()()()()4.设椭圆E:=1(ab0)过M(2,√),N(√,1)两点,O为坐标原点.(1)求椭圆E的方程;(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围:若不存在,请说明理由.解：(1)将M,N的坐标代入椭圆E的方程,得{解得a2=8,b2=4.所以椭圆E的方程为=1.(2)假设满足题意的圆存在,其方程为x2+y2=R2,其中0R2.4设该圆的任意一条切线AB和椭圆E交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,当直线AB的斜率存在时,令直线AB的方程为y=kx+m,①将其代入椭圆E的方程并整理,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.由根与系数的关系,得x1+x2=-,x1x2=-②因为⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,所以x1x2+y1y2=0.③将y1=kx1+m,y2=kx2+m代入③,得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.④将②代入④,得m2=(1+k2).⑤因为直线AB和圆相切,所以R=√,将其代入⑤得R=√,所以存在圆x2+y2=满足题意.当切线AB的斜率不存在时,易得,由椭圆E的方程得,显然⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗综上所述,存在圆x2+y2=满足题意.如图,过原点O作OD⊥AB,垂足为D,则D为切点,设∠OAB=θ,则θ为锐角,且|AD|=√,|BD|=√tanθ,所以|AB|=√()因为2≤|OA|≤2√,所以√tan√令x=tanθ,易证:当x[√]时,|AB|=√()单调递减;当x∈[1,√]时,|AB|=√()单调递增.所以√|AB|≤2√55.已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R).(1)若a=-1,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2[]在区间(t,3)上总不是单调函数,求m的取值范围;(3)求证:…(n≥2,n∈N*).答案：(1)解当a=-1时,f'(x)=-(x0),由f'(x)0,得x∈(1,+∞);由f'(x)0,得x∈(0,1),∴函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞);单调递减区间为(0,1).(2)解∵f'(x)=-(x0),∴f'(2)=-=1.∴a=-2,f(x)=-2lnx+2x-3,g(x)=x3+()x2-2x.∴g'(x)=3x2+(m+4)x-2.∵g(x)在区间(t,3)上不是单调函数,且g'(0)=-2,{由题意知,对于任意的t∈[1,2],g'(t)0恒成立,{-m-9.(3)证明由(1)当x∈(1,+∞)时,f(x)f(1),即-lnx+x-10,∴0lnxx-1对一切x∈(1,+∞)恒成立.∵n≥2,n∈N*,则有0lnnn-1,∴0-,……-(n≥2,n∈N*).…(n≥2,n∈N*).