题型练7高中数学大题专项五解析几何综合问题

1题型练7大题专项(五)解析几何综合问题题型练第70页一、解答题1.设椭圆=1(ab0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为√,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6√(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若√sin∠AOQ(O为原点),求k的值.解：(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,|FB|=a,|AB|=√b.由|FB|·|AB|=6√,可得ab=6,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为=1.(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).由已知有y1y20,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.又因为|AQ|=,而∠OAB=,故|AQ|=√y2.由√sin∠AOQ,可得5y1=9y2.由方程组{消去x,可得y1=√易知直线AB的方程为x+y-2=0,由方程组{-消去x,可得y2=由5y1=9y2,可得5(k+1)=3√,两边平方,整理得56k2-50k+11=0,解得k=,或k=所以,k的值为或2.已知椭圆C:=1(ab0)经过点(√),离心率为√(1)求椭圆C的方程;2(2)不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为直径的圆过原点,且线段AB的垂直平分线交y轴于点P0,-,求直线l的方程.解：(1)由题意得{√解得a=2,b=1.故椭圆C的方程是+y2=1.(2)设直线l的方程为y=kx+t,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立{消去y,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,则有x1+x2=-,x1x2=-Δ0⇒4k2+1t2,y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=,y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k2-+kt-+t2=-因为以AB为直径的圆过坐标原点,所以OA⊥OB,x1x2+y1y2=0.因为x1x2+y1y2=--=0,所以5t2=4+4k2.因为Δ0,所以4k2+1t2,解得t-√或t√又设A,B的中点为D(m,n),则m=-,n=因为直线PD与直线l垂直,所以kPD=----,得由{解得{-当t=-时,Δ0不成立.3当t=1时,k=±,所以直线l的方程为y=x+1或y=-x+1.3.设椭圆=1(a√)的右焦点为F,右顶点为A.已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.解：(1)设F(c,0),由,即-,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为=1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(xB,yB),由方程组{-消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=-,由题意得xB=-,从而yB=-由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,yH),⃗⃗⃗⃗⃗(-)由BF⊥HF,得⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,所以-=0,解得yH=-因此直线MH的方程为y=-x+-4设M(xM,yM),由方程组{---消去y,解得xM=在△MAO中,∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|,即(xM-2)2+,化简得xM≥1,即1,解得k≤-√,或k√所以,直线l的斜率的取值范围为(--√][√)4.已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于点M,直线PB交y轴于点N.(1)求直线l的斜率的取值范围;(2)设O为原点,⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗,求证:为定值.答案：(1)解因为抛物线y2=2px经过点P(1,2),所以4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.由题意可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).由{得k2x2+(2k-4)x+1=0.依题意,Δ=(2k-4)2-4×k2×10,解得k0或0k1.又PA,PB与y轴相交,故直线l不过点(1,-2),从而k≠-3.所以直线l斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).(2)证明设点A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)知x1+x2=--,x1x2=直线PA的方程为y-2=--(x-1).令x=0,得点M的纵坐标为yM=--+2=--+2.同理得点N的纵坐标为yN=--+2.5由⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗,得λ=1-yM,μ=1-yN.所以--=------=--=2.所以为定值.5.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解：由题知点F()设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A(),B(),P(-),Q(-),R(-)记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(1)证明:由于点F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=----=-b=k2.所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a||-|,S△PQF=-由题设可得2|b-a||-|-,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得-(x≠1).而=y,所以y2=x-1(x≠1).6当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.6.已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,且圆x2+y2-2x-3y=0的圆心在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线y=mx+n与椭圆C只有一个公共点M,且与直线x=4相交于点N,问x轴上是否存在点P,使得以MN为直径的圆恒过点P?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解：(1)由e=(其中e为椭圆C的离心率),得√-√-,即3a2=4b2.又圆x2+y2-2x-3y=0的圆心为()在椭圆C上,所以=1.联立{解得{故椭圆C的标准方程为=1.(2)联立{消去y,整理得(3+4m2)x2+8mnx+4n2-12=0.因为直线y=mx+n与椭圆C只有一个公共点M,所以Δ=64m2n2-4(3+4m2)(4n2-12)=0,即n2=3+4m2.设点M的坐标为(xM,yM),则xM=-=-,yM=mxM+n=,即M(-)假设x轴上存在点P(t,0),使得以MN为直径的圆恒过点P.因为点N(4,4m+n),所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗(--)⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4-t,4m+n).所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(--)(4-t)+(4m+n)=t2-4t+3+(t-1)=0恒成立.所以{-即t=1.7所以在x轴上存在点P(1,0),使得以MN为直径的圆恒过点P.