搜索
1题型练8大题专项(六)函数与导数综合问题题型练第72页一、解答题1.设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a;(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.解：(1)因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex,所以f'(x)=[2ax-(4a+1)]ex+[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex=[ax2-(2a+1)x+2]ex(x∈R).f'(1)=(1-a)e.由题设知f'(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此时f(1)=3e≠0,所以a的值为1.(2)由(1)得f'(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)(x-2)ex.若a,则当x()时,f'(x)0;当x∈(2,+∞)时,f'(x)0.所以f(x)在x=2处取得极小值.若a,则当x∈(0,2)时,x-20,ax-1x-10,所以f'(x)0.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是()2.已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}={(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围.(2)①求F(x)的最小值m(a);②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).解：(1)由于a≥3,故当x≤1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)0,当x1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a].(2)①设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1),g(a)},即m(a)={√--√②当0≤x≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2),当2≤x≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.所以,M(a)={-23.设函数f(x)=x3-x2+ax,a∈R.(1)若x=2是f(x)的极值点,求a的值;(2)已知函数g(x)=f(x)-ax2+,若g(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.解：(1)因为f(x)=x3-x2+ax,a∈R,所以f'(x)=x2-x+a.因为x=2是f(x)的极值点,所以f'(2)=4-2+a=0,解得a=-2.(2)因为g(x)=x3-(1+a)x2+ax+,所以g'(x)=x2-(1+a)x+a=(x-1)(x-a),①当a≥1时,x∈(0,1),g'(x)0恒成立,即g(x)单调递增.又g(0)=0,因此函数g(x)在区间(0,1)内没有零点.②当0a1时,x∈(0,a),g'(x)0,即g(x)单调递增;x∈(a,1),g'(x)0,即g(x)单调递减.又g(0)=0,因此要使函数g(x)在区间(0,1)内有零点,必有g(1)0,所以(1+a)+a+0,解得a-1,舍去.③当a≤0时,x∈(0,1),g'(x)0,即g(x)单调递减;又g(0)=0,因此要使函数g(x)在区间(0,1)内有零点,必有g(1)0,解得a-1满足条件.综上可得,a的取值范围是(-∞,-1).4.已知函数f(x)=ax-a+1-(1)若函数f(x)为减函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围.解：(1)∵f(x)=ax-a+1-,∴f'(x)=a--∵函数f(x)为减函数,∴f'(x)≤0,即a-对x∈(0,+∞)恒成立.设m(x)=-,则m'(x)=-∴m(x)在区间()内单调递减,在区间(,+∞)内单调递增.3∴m(x)min=m()=-a≤-,即a≤-e-3,故实数a的取值范围是(-∞,-e-3].(2)易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=---设h(x)=ax2-(a-1)x-lnx,则原命题等价于函数h(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围,可知h'(x)=ax-(a-1)-----,∴当a≥0时,函数h(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.∴若函数h(x)有两个不同的零点,则必有h(1)=-a+10,即a2.此时,在x∈(1,+∞)内,有h(2)=2a-2(a-1)-ln2=2-ln20;在x∈(0,1)内,∵h(x)=a(x2-2x)+x-lnx,∵-1x2-2x0,∴h(x)-a+x-lnx,∴h(-)-a+--ln(-)=-0,∴h(x)在区间(0,1),(1,+∞)内各有一个零点,故a2符合题意;当a=-1时,可知函数h(x)在区间(0,+∞)内单调递减,∴函数h(x)至多有一个零点,不符合题意;当-1a0时,可知函数h(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(-)内单调递增,在区间(-)内单调递减.∴函数h(x)的极小值为h(1)=-a+10,∴函数h(x)至多有一个零点,不符合题意;当a-1时,可知函数h(x)在区间(-)内单调递减,在区间(-)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减.∴函数h(x)的极小值为h(-)(a-1)-ln(-)=1-+ln(-a)0,∴函数h(x)至多有一个零点,不符合题意.综上所述,实数a的取值范围是(2,+∞).45.设函数f(x)=,g(x)=-x+(a+b)(其中e为自然对数的底数,a,b∈R,且a≠0),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=ae(x-1).(1)求b的值;(2)若对任意x[),f(x)与g(x)有且只有两个交点,求a的取值范围.解：(1)由f(x)=,得f'(x)=-,由题意得f'(1)=ab=ae.∵a≠0,∴b=e.(2)令h(x)=x[f(x)-g(x)]=x2-(a+e)x+aelnx,则任意x[),f(x)与g(x)有且只有两个交点,等价于函数h(x)在区间[)有且只有两个零点.由h(x)=x2-(a+e)x+aelnx,得h'(x)=--,①当a时,由h'(x)0得xe;由h'(x)0得xe.此时h(x)在区间()内单调递减,在区间(e,+∞)内单调递增.因为h(e)=e2-(a+e)e+aelne=-e20,h(e2)=e4-(a+e)e2+2ae=e(e-2)(e2-2a)e(e-2)(-)0(或当x→+∞时,h(x)0亦可),所以要使得h(x)在区间[)内有且只有两个零点,则只需h()+aeln--0,即a-②当ae时,由h'(x)0得xa或xe;由h'(x)0得axe.此时h(x)在区间(a,e)内单调递减,在区间()和(e,+∞)内单调递增.此时h(a)=-a2-ae-aelna-a2-ae+aelne=-a20,即h(x)在区间[)内至多只有一个零点,不合题意.③当ae时,由h'(x)0得xe或xa,由h'(x)0得exa,此时h(x)在区间()和(a,+∞)内单调递增,在区间(e,a)上单调递减,且h(e)=-e20,5即h(x)在区间[)内至多只有一个零点,不合题意.综上所述,a的取值范围为(--]6.(2019全国Ⅰ,理21)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.(ⅰ)证明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;(ⅱ)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.解：(1)X的所有可能取值为-1,0,1.P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β).所以X的分布列为X-101P(1-α)βαβ+(1-α)(1-β)α(1-β)(2)(ⅰ)证明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因为p1-p0=p1≠0,所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)是公比为4,首项为p1的等比数列.(ⅱ)由(ⅰ)可得p8=p8-p7+p7-p6+…+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+…+(p1-p0)=-p1.由于p8=1,故p1=-,所以p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=-p1=6p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p4=0.0039,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.