高中数学知识概率与统计

第1页共6页高中数学知识点第十二章-概率与统计考试内容：抽样方法.总体分布的估计．总体期望值和方差的估计．考试要求：（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样．（2）会用样本频率分布估计总体分布．（3）会用样本估计总体期望值和方差．§12.概率与统计知知识识要要点点一、随机变量.1.随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2.离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则ba也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(xf是连续函数或单调函数，则)(f也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量ξ可能取的值为：,,,,21ixxxξ取每一个值),2,1(1ix的概率iipxP)(，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.1x2x…ix…P1p2p…ip…有性质①,2,1,01ip；②121ippp.第2页共6页注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3.⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：knkknqpCk)P(ξ[其中pqnk1,,,1,0]于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B（n·p），其中n，p为参数，并记p)nb(k;qpCknkkn.⑵二项分布的判断与应用.①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4.几何分布：“k”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为kA，事A不发生记为q)P(A,Akk，那么)AAAAP(k)P(ξk1k21.根据相互独立事件的概率乘法分式：))P(AAP()A)P(AP(k)P(ξk1k21),3,2,1(1kpqk于是得到随机变量ξ的概率分布列.123…k…Pqqppq2…pq1k…我们称ξ服从几何分布，并记pqp)g(k,1k，其中3,2,1.1kpq5.⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取)Nnn(1件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为)MNknM,0k(0CCCk)P(ξnNknMNkM.〔分子是从M件次品中取k件，从N-M件正第3页共6页品中取n-k件的取法数，如果规定m＜r时0Crm，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为n.,0,1,kCCCk)P(ξnbaknbka.⑶超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：把ba个产品编号，则抽取n次共有nba)(个可能结果，等可能：k)(η含knkknbaC个结果，故n,0,1,2,k,)baa(1)baa(Cb)(abaCk)P(ηknkknnknkkn，即～)(baanB.[我们先为k个次品选定位置，共knC种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法]可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，k)P(ηk)P(ξ，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.二、数学期望与方差.1.期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为1x2x…ix…P1p2p…ip…则称nnpxpxpxE2211为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2.⑴随机变量ba的数学期望：baEbaEE)(①当0a时，bbE)(，即常数的数学期望就是这个常数本身.②当1a时，bEbE)(，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.③当0b时，aEaE)(，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的第4页共6页乘积.⑵单点分布：ccE1其分布列为：cP)1(.⑶两点分布：ppqE10，其分布列为：（p+q=1）⑷二项分布：npqpknknkEknk)!(!!其分布列为～),(pnB.（P为发生的概率）⑸几何分布：pE1其分布列为～),(pkq.（P为发生的概率）3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()(kpxPkk时，则称nnpExpExpExD2222121)()()(为ξ的方差.显然0D，故.D为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.D越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.．4.方差的性质.⑴随机变量ba的方差DabaDD2)()(.（a、b均为常数）⑵单点分布：0D其分布列为pP)1(⑶两点分布：pqD其分布列为：（p+q=1）⑷二项分布：npqD⑸几何分布：2pqD5.期望与方差的关系.⑴如果E和E都存在，则EEE)(⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则DDDEEE)(,)(⑶期望与方差的转化：22)(EED⑷)()()(EEEEE（因为E为一常数）0EE.ξ01Pqpξ01Pqp第5页共6页三、正态分布.（基本不列入考试范围）1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间),[ba内的概率等于它与x轴.直线ax与直线bx所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为图像的函数)(xf叫做ξ的密度函数，由于“),(x”是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.2.⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：222)(21)(xexf.（,,Rx为常数，且0），称ξ服从参数为,的正态分布，用～),(2N表示.)(xf的表达式可简记为),(2N，它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差：若～),(2N，则ξ的期望与方差分别为：2,DE.⑶正态曲线的性质.①曲线在x轴上方，与x轴不相交.②曲线关于直线x对称.③当x时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.④当x＜时，曲线上升；当x＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.⑤当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.3.⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为)(21)(22xexx，则称ξ服从标准正态分布.即～)1,0(N有)()(xPx，)(1)(xx求出，而P（a＜ξ≤b）的计▲yxaby=f(x)第6页共6页算则是)()()(abbaP.注意：当标准正态分布的)(x的X取0时，有5.0)(x当)(x的X取大于0的数时，有5.0)(x.比如5.00793.0)5.0(则5.0必然小于0，如图.⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若～),(2N则ξ的分布函数通常用)(xF表示，且有)σμx(F(x)x)P(ξ.4.⑴“3”原则.假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布),(2N.②确定一次试验中的取值a是否落入范围)3,3(.③做出判断：如果)3,3(a，接受统计假设.如果)3,3(a，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.⑵“3”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布),(2N则ξ落在)3,3(内的概率为99.7％亦即落在)3,3(之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.▲xya标准正态分布曲线S阴=0.5Sa=0.5+SS