高中数学知识点三角函数

第1页共10页高中数学第四章-三角函数考试内容：角的概念的推广．弧度制．任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．考试要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义．（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx表示．（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．（8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα•cosα=1”．第2页共10页§04.三三角角函函数数知知识识要要点点1.①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：Zkk,360|②终边在x轴上的角的集合：Zkk,180|③终边在y轴上的角的集合：Zkk,90180|④终边在坐标轴上的角的集合：Zkk,90|⑤终边在y=x轴上的角的集合：Zkk,45180|⑥终边在xy轴上的角的集合：Zkk,45180|⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：k360⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：180360k⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：k180⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：90360k2.角度与弧度的互换关系：360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式：1rad＝180°≈57.30°=57°18ˊ．1°＝180≈0.01745（rad）3、弧长公式：rl||.扇形面积公式：211||22slrr扇形4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则rysin；rxcos；xytan；yxcot；xrsec；.yrcsc.5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）yx▲SIN\COS三角函数值大小关系图sinxcosx1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域12341234sinxsinxsinxcosxcosxcosxroxya的终边P（x,y)第3页共10页正切、余切余弦、正割-----+++++-+正弦、余割oooxyxyxy6、三角函数线正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：AT.7.三角函数的定义域：三角函数定义域)(xfsinxRxx|)(xfcosxRxx|)(xftanxZkkxRxx,21|且)(xfcotxZkkxRxx,|且)(xfsecxZkkxRxx,21|且)(xfcscxZkkxRxx,|且8、同角三角函数的基本关系式：tancossincotsincos1cottan1sincsc1cossec1cossin221tansec221cotcsc229、诱导公式：2k把的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：（一）基本关系TMAOPxy(3)若ox2,则sinxxtanx(2)(1)|sinx||cosx||cosx||sinx||cosx||sinx||sinx||cosx|sinxcosxcosxsinx16.几个重要结论:OOxyxy第4页共10页公式组二公式组三xxkxxkxxkxxkcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(公式组四公式组五公式组六xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(xxxxxxxxcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(（二）角与角之间的互换公式组一公式组二sinsincoscos)cos(cossin22sinsinsincoscos)cos(2222sin211cos2sincos2cossincoscossin)sin(2tan1tan22tansincoscossin)sin(2cos12sintantan1tantan)tan(2cos12costantan1tantan)tan(公式组三公式组四公式组五2tan12tan2sin22tan12tan1cos22公式组一sinx·cscx=1tanx=xxcossinsin2x+cos2x=1cosx·secxx=xxsincos1+tan2x=sec2xtanx·cotx=11+cot2x=csc2x=1coscos21sinsincoscos21coscossinsin21sincossinsin21cossin2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsinsincos1cos1sincos1cos12tansin)21cos(sin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(第5页共10页2tan12tan2tan242675cos15sin,42615cos75sin,3275cot15tan,3215cot75tan.10.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：xAysin（A、＞0）定义域RRR值域]1,1[]1,1[RRAA,周期性222奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当,0非奇非偶当,0奇函数单调性]22,22[kk上为增函数；]223,22[kk上为减函数（Zk）]2,12[kk；上为增函数]12,2[kk上为减函数（Zk）kk2,2上为增函数（Zk）1,kk上为减函数（Zk）)(212),(22AkAk上为增函数；)(232),(22AkAk上为减函数（Zk）2cos2cos2coscos2sin2sin2coscosZkkxRxx,21|且ZkkxRxx,|且xycotxytanxycosxysincos)21sin(cot)21tan(第6页共10页注意：①xysin与xysin的单调性正好相反；xycos与xycos的单调性也同样相反.一般地，若)(xfy在],[ba上递增（减），则)(xfy在],[ba上递减（增）.②xysin与xycos的周期是.③)sin(xy或)cos(xy（0）的周期2T.2tanxy的周期为2（2TT，如图，翻折无效）.④)sin(xy的对称轴方程是2kx（Zk），对称中心（0,k）；)cos(xy的对称轴方程是kx（Zk），对称中心（0,21k）；)tan(xy的对称中心（0,2k）.xxyxy2cos)2cos(2cos原点对称⑤当tan·,1tan)(2Zkk；tan·,1tan)(2Zkk.⑥xycos与kxy22sin是同一函数,而)(xy是偶函数，则)cos()21sin()(xkxxy.⑦函数xytan在R上为增函数.（×）[只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，xytan为增函数，同样也是错误的].⑧定义域关于原点对称是)(xf具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(xfxf，奇函数：)()(xfxf）奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：xytan是奇函数，)31tan(xy是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若x0的定义域，则)(xf一定有0)0(f.（x0的定义域，则无此性质）⑨xysin不是周期函数；xysin为周期函数（T）；xycos是周期函数（如图）；xycos为周期函数（T）；▲Oyx▲yxy=cos|x|图象▲1/2yxy=|cos2x+1/2|图象第7页共10页212cosxy的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：Rkkxfxfy),(5)(.⑩abbabaycos)sin(sincos22有yba22.11、三角函数图象的作法：１）、几何法：２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.３）、利用图象变换作三角函数图象．三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期2||T，频率1||2fT，相位;x初相（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0时以上公式可去绝对值符号），由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||倍，得到y＝sinωx的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换x)由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝si