高中数学知识点不等式

第1页共4页高中数学第六章-不等式考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│§06.不不等等式式知知识识要要点点1.不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：.0;0;0babababababa（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式与异向不等式.（4）同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1）abba（对称性）（2）cacbba,（传递性）（3）cbcaba（加法单调性）（4）dbcadcba,（同向不等式相加）（5）dbcadcba,（异向不等式相减）第2页共4页（6）bcaccba0,.（7）bcaccba0,（乘法单调性）（8）bdacdcba0,0（同向不等式相乘）(9)0,0ababcdcd（异向不等式相除）11(10),0ababab（倒数关系）（11）)1,(0nZnbabann且（平方法则）（12）)1,(0nZnbabann且（开方法则）3.几个重要不等式（1）0,0||,2aaRa则若（2）)2||2(2,2222ababbaabbaRba或则、若（当仅当a=b时取等号）（3）如果a,b都是正数，那么.2abab（当仅当a=b时取等号）极值定理：若,,,,xyRxySxyP则：○1如果P是定值,那么当x=y时，S的值最小；○2如果S是定值,那么当x=y时，P的值最大.利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.3,3abcabcRabc(4)若、、则（当仅当a=b=c时取等号）0,2baabab(5)若则（当仅当a=b时取等号）2222(6)0||;||axaxaxaxaxaxaaxa时，或（7）||||||||||||,bababaRba则、若4.几个著名不等式（1）平均不等式：如果a,b都是正数，那么222.1122abababab（当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：第3页共4页特别地，222()22ababab（当a=b时，222()22ababab）),,,(332222时取等cbaRcbacbacba幂平均不等式：22122221)...(1...nnaaanaaa注：例如：22222()()()acbdabcd.常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1nnnnnnnnnn②11111(1)121nnnnnnnnnn（2）柯西不等式：时取等号当且仅当（则若nnnnnnnnbababababbbbaaaababababaRbbbbRaaaa332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),xxxx有12121212()()()()()().2222xxfxfxxxfxfxff或则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例①一元一次不等式axb解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c0(a≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则第4页共4页()()0()()0()()0;0()0()()fxgxfxfxfxgxgxgxgx（3）无理不等式：转化为有理不等式求解○1()0()()()0()()fxfxgxgxfxgx定义域○20)(0)()]([)(0)(0)()()(2xgxfxgxfxgxfxgxf或○32)]([)(0)(0)()()(xgxfxgxfxgxf（4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lglgfxgxfxgxfxaaafxgxaaafxgxababfxab（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log()log()(1)()0;log()log()(01)()0()()()()aaaafxfxfxgxagxfxgxagxfxgxfxgx（6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值；○2应用数形思想；○3应用化归思想等价转化)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|xgxfxgxfxgxgxfxgxgxfxgxfxgxgxgxf或或不同时为注：常用不等式的解法举例（x为正数）：①231124(1)2(1)(1)()22327xxxxx②2222232(1)(1)12423(1)()223279xxxyxxyy类似于22sincossin(1sin)yxxxx，③111||||||()2xxxxxx与同号，故取等