含绝对值的不等式

含绝对值的不等式[学习要求]（1）理解并掌握解含绝对值的不等式的基本思路是化去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式（或不等式组）来解。（2）弄懂去绝对值符号的理论依据，掌握去绝对值符号的主要方法，会解简单的含有绝对值的不等式。[重点难点]1．实数绝对值的定义:|a|=这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。若a0时，则|x|a-axa；|x|ax-a或xa。注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。3．常用的同解变形|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x)；|f(x)|g(x)f(x)-g(x)或f(x)g(x)；|f(x)||g(x)|f2(x)g2(x)。4．三角形不等式:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。例题选讲:第一阶梯例1：实数绝对值的涵义是什么？探路：实数绝对值的定义是分类给出的。解：正数的绝对值就是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。即：评注：绝对值的概念是分类定义的，因此，在解决这类问题时，必须要分类讨论。例2：型如：|x|a，|x|a，（其中a0）不等式的解法。探路：利用不等式的乘方法则或绝对值意义均可。解：当a0时，|x|ax2a2－axa；其几何意义为|x|ax2a2xa或x－a；其几何意义为评注：解：型如|x|a，（a0）和|x|a，（a0）的不等式，可以利用平方法化为关于x的二次不等式来解；也可以利用定义法来解，均可求得它们的解集。今后，要熟记|x|a（a0）的解集为－axa；|x|a，（a0）的解集为xa或x－a是十分重要的。例3：由定理－“|a|－|b|≤|a+b|≤|a|+|b|”导出定理：“|a|－|b|≤|a－b|≤|a|+|b|”探路：利用“代换法”证明：由定理一可知，|a|－|－b|≤|a+(－b)|≤|a|+|－b|，即|a|－|b|≤|a－b|≤|a|+|b|评注：关于和、差、积、商的绝对值与绝对值的和、差、积、商，有下面性质。（1）|a·b|=|a|·|b|；（2），（b≠0）；（3）|a|－|b|≤|a+b|≤|a|+|b|；（4）|a|－|b|≤|a－b|≤|a|+|b|例4：不等式||1的解集是（）（A）{x|5x16}；（B）{x|6x18}（C）{x|7x20}；（D）{x|8x22}探路：根据不等式的性质|f(x)|a－af(x)a，（a0）求解。解：1－1－31244x－2166x18，即{x|6x18}，故应选择（B）评注：本题考查含绝对值不等式的解法。例5：解不等式|3x+2|+|x-2|4探路：含多个绝对值符号的不等式，利用零点、分区间、讨论法。解：由3x+2=0，得x=；由x-2=0，得x=2，∴原式或或或或x－1或0x≤2或x2x－1或x0故原不等式的解集为{x|－1或x0}评注：①解含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，一般采用零点、分区间、讨论法；即先求出使每个含绝对值符号的解析式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把序轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内解析式在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式去解。②分类讨论思想、解关于x的不等式，若对x讨论，所求不等式的解集是各种情况所得解集的并集。第二阶梯例1：解下列不等式（1）|-2|≤3；（2）|x2-3x|4探路：当a0时，有|f(x)|≤a－a≤f(x)≤a；|f(x)|af(x)a或f(x)－a解：（1）原不等式－3≤－2≤3－1≤≤5，∵≥0，∴0≤≤50≤3x-2≤252≤3x≤27≤x≤9∴原不等式的解集为{x|≤x≤9}；（2）原不等式x2-3x4或x2-3x-4x2-3x-40或x2-3x+40解x2-3x-40，得x-1或x4；解x2-3x+40，得x∈∴原不等式的解集是{x|x-1或x4}。评注：依据a0，x∈R时，有|x|a－axa；|x|axa或x－a可知，去掉绝对值符号的主要方法，为|f(x)|a－af(x)a，（a0）；|f(x)|af(x)a或f(x)－a，（a0）例2.解下列不等式（i）|x2－9|≤x+3；探路：根据实数绝对值的意义，即|a|=去掉绝对值符号，再行解之。解：原不等式（I）或（II）不等式组（I）x=－3或3≤x≤4；不等式组（II）2≤x＜3；∴原不等式的解集是{x|x=－3或2≤x≤4}。探路（2）：根据不等式的性质|f(x)|≤g(x)－g(x)≤f(x)≤g(x)去掉绝对值符号，再行解之。解：原不等式－(x+3)≤x2－9≤x+3≤x=－3或2≤x≤4。∴原不等式的解集为{x|x=－3或2≤x≤4}。评注：解含绝对值符号不等式的基本方法是去掉绝对值符号，然后再解；去绝对值符号的常用手段有三种，即根据实数绝对值的意义，去绝对值符号；根据不等式性质：去绝对值符号，在这里不必考虑g(x)的符号问题；也可以根据|a|2=a2，（a∈R），将不等式两边平方，此时要注意不等式两边平方的条件。（ii）2x；探路：|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)－g(x)（请同学们直接使用，证明略）解：原不等式2x或－2x；由2x，得x或x；由－2x，得x；∴原不等式的解集为{x|x或x}评注：熟练应用“|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)”解不等式是介绍此法的目的，只求会用，不必证明。例3：解下列各不等式(i)探路：利用，将原不等式化为关于|x|的含绝对值二次不等式，先求出|x|的取值范围，再求x的取值范围。解：∵x2=|x|2∴原不等式的解集为评注：对上面介绍的五种去掉绝对值符号的方法，不要盲目套用，要分析题目的结果特征，选择解题的最佳途径是我们要培养的基础功。(ii)探路：∵不等式两边均为非负数，∴可以利用“平方法”解：∵不等式两边都是非负数，∴不等式两边分别平方，得，整理得又∵此不等式两边都是非负数，∴两边分别平方，得整理，得∴原不等式的解集为；评注：在利用“平方法”去绝对值符号时，必须注意不等式两边都非负的条件。探路：可以利用零点、分段、讨论法（即零点区间法）解4：求零点：令x+3=0，得x=-3；令x-3=0，得x=3。分段：两个零点将R分为三段；（i）当x≥3时，原不等式化为|x+3-x+3|3，∵此不等式恒成立；∴x≥3（ii）当x≤-3时，原不等式化为|-x-3+x-3|3，∵此不等式恒成立，∴x≤-3（iii）当-3x3时，原不等式化为|2x|3，求(i)、(ii)、(iii)的并集，得原不等式的解集为第三阶梯例1：设集合，若AB，求实数a的取值范围。探路：分别解绝对值不等式，分式不等式，化简集合A，B，再将集合的包含关系转化为与之等价的不等式组，求a的取值范围。注意此时应包括端点。解：|x-a|2-2x-a2a-2xa+2,∴A={x|a-2xa+2};1-100(x+2)(x-3)0-2x3∴B={x|-2x3};∵AB,于是0≤a≤1。评注：本题考查的方向是求满足条件实数a的取值范围；考查的知识点为：绝对值不等式，分式不等式的解法以及集合的知识；考查数形结合的数学思想，必须指出的是集合的包含关系，可直观地解释为数轴上区间的覆盖关系，从而将集合的包含关系转化为与之等价的不等式组，求得a的取值范围。例2：求证：探路：用综合法不易得手时，可从结论分析入手，逐步寻找使前一个不等式成立的充分条件或充要条件。成立，∴原不等式成立。评注：本题考查用分析法证明不等式，是对课本P27。例4，证明方法的挖潜，∵每一个不等式都是前一个不等式成立的充分条件或充要条件，因而相邻两个不等式之间要用反向单箭头“”（表示后一个不等式是前一个不等式成立的充分条件），或用双向箭头“”（表示后一个不等式是前一个不等式成立的充要条件）连结。也可以用“需证”、“即证”等语句连结。通过练习，落实数学思想和方法。例3：已知|a|1,|b|1，试比较|a+b|+|a-b|与2的大小。探路：∵要比较大小的对象含有绝对值符号，∴可联想算术平方根，对其进行变形，再利用不等式的性质进行放缩处理。评注：对于含有绝对值符号的比较大小问题，可视为绝对值不等式的证明，要结合绝对值不等式的性质，利用放缩等方法解决问题。探路：本题也可以按a+b与a-b的符号分类讨论，解答问题。解：(i)当a+b与a-b同号时，有(ii)当a+b与a-b异号时，有(iii)当a+b与a-b至少一者为零时，结论显然综上所述：|a+b|+|a-b|2仅供参考，不必深究。例4：设a0，且a≠1，解关于x的不等式探路：利用“同底法”。解：∴原不等式(i)当0a1时不等式组（Ⅲ），无解，∴原不等式的解集为；(ii)当a1时不等式组（Ⅲ），无解，∴原不等式的解集为评注：本题是含字母系数a的对数不等式，参数a的作用有两个：一是由0a1和a1来决定对数函数的单调性；在对数不等式变换为代数不等式时，决定不等号的方向是否改变；二是决定所得代数不等式的解集，还需指出的是，对数函数的定义域为R+的制约作用也不可忽视。第四阶梯例1．解不等式|x2+4x-1|4.............①解:①-4x2+4x-14-5x-3或-1x1。即原不等式的解集是（-5，-3）∪（-1，1）。例2．解不等式|x2-3|2x...........①解:①x2-3-2x或x2-32xx2+2x-30或x2-2x-30-3x1或x-1或x3x1或x3。即原不等式的解集（-∞，1）∪（3，+∞）。例3．解不等式||≤1...........①解:①(2)|2x+3|2≤|x-1|2(2x+3)2-(x-1)2≤0(2x+3-x+1)(2x+3+x-1)≤0(x+4)(3x+2)≤0,-4≤x≤-。(3)x≠1。∴原不等式的解集为[-4，-]。例4．解不等式|x+1|+|x-2|5...........①分析:为了去掉绝对值符号，首先找到两式的零点-1和2，它们把（-∞，+∞）分成了三个区间；（-∞，-1），[-1，2]，（2，+∞）。从而可将不等式①化为三个不等式组。求它们的解集的并集即可。解:将不等式①化为三个不等式组（I）-2x-1；（II）-1≤x≤2；（III）2x3。∴原不等式的解集为(-2,-1)∪[-1,2]∪(2,3)，即（-2，3）。例5．解不等式|x+1|+|x-2|1。解:∵|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，∴原不等式无解。说明:本题没有采用例4的解法，而是利用三角形不等式直接判断出结果。它提示我们今后解这一类问题，应先判断。例6．已知:|a|1,|b|1。求证:||1.........①证法1：欲证①，只需证1,只需证|a+b||1+ab|,只需证(a+b)2(1+ab)2,只需证(a+b)2-(1+ab)20,只需证(a2+b2-a2b2-1)0,只需证-(a2-1)(b2-1)0............②∵|a|1,|b|1。∴a21,b21，即a2-10,b2-10。∴②式成立，∴原不等式成立。证法2：欲证①，只需证-11,只需证（+1）（-1）0,只需证·0,只需证0,只需证0............③∵|a|1,|b|1,∴a21,b21，即a2-10,b2-10,又(1+ab)20,∴③式成立，∴原不等式成立。例7．求证:≤≤+。证法1:∵≤|a+b|(1+|a|+|b|)≤(|a|+|b|)(1+|a+b|)|a+b|≤|a|+|b|。∵上式显然成立，∴≤成立。又=+≤+。∴原命题成立