带电粒子在电磁场中的运动

第52节带电粒子在电磁场中的运动1.2017年天津卷11．（18分）平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第Ⅲ现象存在沿y轴负方向的匀强电场，如图所示。一带负电的粒子从电场中的Q点以速度v0沿x轴正方向开始运动，Q点到y轴的距离为到x轴距离的2倍。粒子从坐标原点O离开电场进入电场，最终从x轴上的P点射出磁场，P点到y轴距离与Q点到y轴距离相等。不计粒子重力，为：（1）粒子到达O点时速度的大小和方向；（2）电场强度和磁感应强度的大小之比。【答案】（1）02vv，方向与x轴方向的夹角为45°角斜向上；（2）20vBE。【解析】（1）在电场中，粒子做类平抛运动，设Q点到x轴的距离为L，到y轴的距离为2L，粒子的加速度为a，运动时间为t,有x方向：02Lvt①y方向：212Lat②设粒子到达O点时沿y轴方向的分速度为vy，vy=at③设粒子到达O点时速度方向与x轴方向的夹角为α，有0tanyvv④联立①②③④式得α=45°⑤即粒子到达O点时速度方向与x轴方向的夹角为45°角斜向上。设粒子到达O点时的速度大小为v，由运动的合成有220yvvv⑥联立①②③⑥式得02vv⑦（2）设电场强度为E，粒子电荷量为q，质量为m，粒子在电场中受到的电场力为F，由牛顿第二定律可得F=ma⑧又F=qE⑨设磁场的磁感应强度大小为B，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，所受的洛伦兹力提供向心力，有2vqvBmR⑩由几何关系可知2RL⑪联立①②⑦⑧⑨⑩⑪式得02vEB⑫yBPxOQv0BPxyOQv0vvO′2.2014年物理海南卷14．如图，在x轴上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外；在x轴下方存在匀强电场，电场方向与xoy平面平行，且与x轴成450夹角。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子以速度v0从y轴上P点沿y轴正方向射出，一段时间后进入电场，进入电场时的速度方向与电场方向相反；又经过一段时间T0，磁场方向变为垂直纸面向里，大小不变，不计重力。（1）求粒子从P点出发至第一次到达x轴时所需的时间；（2）若要使粒子能够回到P点，求电场强度的最大值。【解析】（1）带电粒子在磁场中做圆周运动，设运动半径为R，运动周期为T，根据洛伦兹力公式及圆周运动规律，有RvmBqv20002vRT依题意，粒子第一次到达x轴时，运动转过的角度为45，所需时间t1为Tt851求得qBmt451（2）粒子进入电场后，先做匀减速运动，直到速度减小为0，然后沿原路返回做匀加速运动，到达x轴时速度大小仍为v0，设粒子在电场中运动的总时间为t2，加速度大小为a，电场强度大小为E，有maqE2021atv得qEmvt022根据题意，要使粒子能够回到P点，必须满足02Tt得电场强度最大值002qTmvE2.2014年理综大纲卷25．(20分)如图，在第一象限存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面(xy平面)向外；在第四象限存在匀强电场，方向沿x轴负向。在y轴正半轴上某点以与x轴正向平行、大小为v0的速度发射出一带正电OByxPE荷的粒子，该粒子在(d，0)点沿垂直于x轴的方向进人电场。不计重力。若该粒子离开电场时速度方向与y轴负方向的夹角为θ，求：⑴电场强度大小与磁感应强度大小的比值；⑵该粒子在电场中运动的时间。【答案】2021tanv，tanvd02【解析】(1)如图，粒子进入磁场后做匀速圆周运动．设磁感应强度的大小为B，粒子质量与所带电荷量分别为m和q，圆周运动的半径为r.由洛伦兹力公式及牛顿第二定律得rvmBqv200①由题给条件和几何关系可知r＝d②设电场强度大小为E，粒子进入电场后沿x轴负方向的加速度大小为ax，在电场中运动的时间为t，离开电场时沿x轴负方向的速度大小为vx.由牛顿定律及运动学公式得Eq＝max③vx＝axt④dtvx2⑤由于粒子在电场中做类平抛运动(如图)，有0vvtanx⑥联立①②③④⑤⑥式得2021tanvBE⑦(2)联立⑤⑥式得tanvdt02⑧4.2011年理综全国卷25．（19分）如图，与水平面成45°角的平面MN将空间分成I和II两个区域。一质量为m、电荷量为q（q0）的粒子以速度v0从平面MN上的P0点水平向右射入I区。粒子在I区运动时，只受到大小不变、方向竖直向下的电场作用，电场强度大小为E；在II区运动时，只受到匀强磁场的作用，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。求粒子首次从II区离开时到出发点P0的距离。粒子的重力可以忽略。B×EP0v0MNⅡⅠv0Oxv(d,0)yθv0Ox(d,0)y解析：带电粒子进入电场后，在电场力的作用下沿抛物线运动，其加速度方向竖直向下，设其大小为a，由牛顿定律得qE＝ma①设经过时间t0，粒子从平面MN上的点P1进入磁场，由运动学公式和几何关系得v0t0＝12at02②粒子速度大小V1为V1＝v02＋(at0)2③设速度方向与竖直方向的夹角为α，则tanα＝v0at0④此时粒子到出发点P0的距离为s0＝2v0t0⑤此后，粒子进入磁场，在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，圆周半径为r1＝mVqB⑥设粒子首次离开磁场的点为P2，弧P1P2所张的圆心角为2β，则P1到点P2的距离为s1＝2r1sinβ⑦由几何关系得α＋β＝45°⑧联立①②③④⑤⑥⑦⑧式得s1＝2mv0qB⑨点P2与点P0相距l＝s0＋s1⑩联立①②⑤⑨⑩解得l＝2mv0q(2v0E＋1B)5.2013年四川卷11．如图所示，竖直平面（纸面）内有直角坐标系xOy，x轴沿水平方向。在x≤0的区域内存在方向垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B1的匀强磁场。在第二象限紧贴y轴固定放置长为l、表面粗糙的不带电绝缘平板，平板平行于x轴且与x轴相距h。在第一象限内的某区域存在方向相互垂直的匀强磁场（磁感应强度大小为B2、方向垂直于纸面向外）和匀强电场（图中未画出）。一质量为m、不带电的小球Q从平板下侧A点沿x轴正向抛出；另一质量也为m、带电量为q的小球P从A点紧贴平板沿x轴正向运动，变为匀速运动后从y轴上的D点进入电磁场区域做匀速圆周运动，经1/4圆周离开电磁场区域，沿y轴负方向运动，然后从x轴上的K点进入第四象限。小球P、Q相遇在第四象限的某一点，且竖直方向速度相同。设运动过程中小球P电量不变，小球P和Q始终在纸面内运动且均看作质点，重力加速度为g。求：（1）匀强电场的场强大小，并判断P球所带电荷的正负；（2）小球Q的抛出速度v0的取值范围；（3）B1是B2的多少倍？hB1v0APlyxKQDO【答案】（1）qmgE，（2）hglBBqgmv2)(021220，（3）0.5倍【解析】（1）由题意，小球P到达D前匀速：mgqvB1，1qBmgv①且P带正电，过D进入电磁场区域做匀速圆周运动，则qEmg，qmgE②（2）经1/4圆周离开电磁场区域，沿y轴负方向运动，设匀速圆周运动半径为R则RvmqvB22③设小球P、Q在第四象限相遇时的坐标为x、y，设小球Q平抛后经时间t与P相遇，Q的水平位移为s，竖直位移为d。则tvs0④221gtd⑤位移关系：lsx=R⑥)(hdy≤0⑦联解①③④⑤⑥⑦得：hghlBBqgmv22)(021220⑧（3）小球Q在空间作平抛运动，在满足题目条件下，运动到小球P穿出电磁场时的高度（图中N点）时，设用时t1,竖直方向速度vy，竖直位移yQ，则有RyQ＝2121gt⑨1gtvvy⑩此后a=g同，P、Q相遇点竖直方向速度必同联立解得：B1=0.5B26.2014年理综重庆卷9．（18分）如题9图所示，在无限长的竖直边界NS和MT间充满匀强电场，同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于NSTM平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，距KL高h处分别有P、Q两点，NS和MT间距为1.8h。质量为m、带电量为+q的粒子从P点垂直于NS边界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为g。hB1v0APlyxKQDO(x，y)sdRvyv0vvN（1）求该电场强度的大小和方向。（2）要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最小值。（3）若粒子能经过Q点从MT边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值。【答案】（1）E=mg/q，方向向上；（2）mBqh)(269；（3）可能的速度有三个：mBqh.680，mBqh.5450，mBqh.520【解析】（1）设电场强度大小为E由题意有mg=qE得E=mg/q方向竖直向上（2）如答题9图l所示，设粒子不从NS边飞出的入射速度最小值为vmin，对应的粒子在上、下区域的运动半径分别为r1和r2，圆心的连线与NS的夹角为φ，由qBmvr，有qBmvrmin1，1221rr由221rsin)rr(hcosrr11得mBqh)(vmin269（3）如答题9图2所示，设粒子入射速度为v，粒子在上、下方区域的运动半径分别为r1和r2，粒子第一次通过KL时距离K点为x，由题意有3nx=1.8h(n=1,2,3,……)226923h)(x2121)rh(rx得532360121.n,h)n.(r即n=1时mBqh.v680n=2时mBqh.v5450n=3时mBqh.v520h题9图NMQPKLTS2BB1.8h答题9图1ShNPKr2r1r2O1O2φ答题9图2ShNPKr2r1xO1O2φxxMLTQ7.2015年理综天津卷12、（20分）现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。真空中存在着如图所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场和磁场的宽度均为d。电场强度为E，方向水平向右；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直，一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射（1）求粒子在第2层磁场中运动时速度v2的大小与轨迹半径r2；（2）粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θn，试求sinθn；（3）若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，试问在其他条件不变的情况下，也进入第n层磁场，但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界，请简要推理说明之。答案：（1）qmEdB2；（2）mEnqdBn2sin；（3）见解析；解析：（1）粒子在进入第2层磁场时，经过两次电场加速，中间穿过磁场时洛伦兹力不做功，由动能定理有22212mvqEd，①解得mqEdv22②粒子在第2层磁场中受到的洛伦兹力充当向心力，有2222rmvBqv③联立②③式解得：qmEdBr22④（2）设粒子在第n层磁场中运动的速度为vn，轨迹半径为rn（各量的下标均代表粒子所在层数，下同），221nmvnqEd⑤nnnrvmBqv2⑥粒子进入到第n层磁场时，速度的方向与水平方向的夹角为n，从第n层磁场右侧边界穿出时速度方向与水平方向的夹角为θn，粒子在电场中运动时，垂直于电场线方向的速度分量不变，有：nnnnvvsinsin11⑦第1层第2层第n层…………qθnn图1rnrnd由图1根据几何关系可以得到：drrnnnnsinsin⑧联立⑥⑦⑧式可得：dsinrsinrnnnn11⑨由⑨式可看出11sinr，22sinr，…，nnrsin为一等差数列，公差为d，可得：dnrrnn1sinsin11⑩当n=1时，由图2可看出：dr11sin⑪联立⑤⑥⑩⑪可解得：mEnqdBsinn2⑫（3）若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，则：2n，1sinn在其他条件不变的情况下，换用比荷更大的粒子，设其比荷为mq，假设能穿出第n层磁场右侧边界，粒子穿出时速度方向与水平方向的夹角为n，由于mqmq，则导致：1nsin说明n不存在，即原假