2.5-平面向量应用举例

2.5平面向量应用举例课标点击2.5平面向量应用举例预习导学典例精析课堂导练课堂小结1．体会向量方法在几何问题中的应用．2．体会向量方法在物理中的应用．基础梳理一、向量方法在几何中的应用1．证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b⇔________⇔_______.2．证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔_______⇔_______.3．求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝______.4．求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式＝________.1.a＝λbx1y2－x2y1＝02.a·b＝0x1x2＋y1y2＝03.a·b|a||b|4.||a2思考应用1．用向量方法解决平面几何问题的三个步骤是什么？解析：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．二、向量方法在物理中的应用1．力、速度、加速度、位移是________．2．力、速度、加速度、位移的合成与分解是向量的________运算，运动的叠加也用到向量的合成．3．动量mv是________．4．功即是力F与所产生的位移s的________．向量加法和减法向量数量积思考应用2．你能利用向量解决物理上的常见问题吗？试一试：滑块A和B叠放在倾角为30°的斜面上，A的质量为2kg，它们一起以4m/s2的加速度从静止开始下滑，在下滑2m的过程中，求：(1)支持力对A做的功；(2)合外力对滑块A做的功．解析：(1)WN＝N·s＝Nscos〈N，s〉．∵cos〈N，s〉＝0，∴WN＝0.(2)W合＝ΔEkA＝12mv2，而v2t－v20＝2as代入数据得W合＝16N.自测自评1．▱ABCD的三个顶点坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，则顶点D的坐标为()A．(2,1)B．(2,2)C．(1,2)D．(2,3)2．已知△ABC，且a·b0，则△ABC的形状()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形AB→＝a，AC→＝b，BA3．四边形ABCD中，若则下列判断正确的是()A．四边形ABCD是矩形B．四边形ABCD是正方形C．四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形D．四边形ABCD是邻边不垂直的菱形||AB→＋AD→＝||AB→－AD→，A4.▱ABCD中心为O，P为该平面内异于O的任一点，且________.5．△ABC的顶点A(－2,3),B(4，－2)，重心G(2，－1)则C点的坐标为________．PO→＝a，则PA→＋PB→＋PC→＋PD→＝4a(4，－4)在平行四边ABCD中，已知AE→＝13BC→，AF→＝14AC→，求证：B、E、F三点共线．分析：通过利用向量的加减法法则证明EF→＝λBE→.解析：证明：∵在平行四边ABCD中，AE→＝13BC→，AF→＝14AC→，∴EF→＝AF→－AE→＝14AC→－13BC→用向量方法证明共线与相交问题＝14()BC→－BA→－13BC→＝－14BA→－112BC→，而BE→＝BA→＋AE→＝BA→＋13BC→，∴EF→＝－14BE→.又∵它们有公共点E，∴B、E、F三点共线．点评：在证明有关三点共线问题时，我们可以考虑证EF→＝λBE→成立；若已知EF→＝λBE→成立，则B、E、F三点共线成立，这是在解析几何中告诉点共线，长度关系，坐标关系的一个重要条件．跟踪训练1．如图，已知△ABC的三条高是AD，BE，CF，用向量方法证明：AD，BE，CF相交于一点．分析：设AD，BE交于一点H，然后证H点在CF上．解析：设AD，BE交于一点H，BC→＝a，CA→＝b，CH→＝h，则BH→＝a＋h，AH→＝h－b,∵BH→⊥AC→，∴()a＋h·b＝0.①同理∴()h－b·a＝0.②①＋②得h·b＋h·a＝0，∴CH→·BA→＝0.∴三条高线AD，BE，CF相交于一点．用向量方法证明：直径所对的圆周角是直角．分析：通过证明BA→·CA→＝0.解析：证明：如图所示，BA→·CA→＝(BO→＋OA→)·()OA→－OC→，∵BO→＝OC→且||OA→＝||OC→，∴BA→·CA→＝OA→2－OC→2＝0.∴∠BAC＝90°.点评：用向量方法证平面几何中的垂直问题，主要是通过证线段所在向量的数量积为零．用向量方法证明垂直问题跟踪训练2．求证：证明菱形的两条对角线互相垂直．分析：通过证两对角线所在向量的数量积为零．解析：证明：如图所示，在菱形ABCD中，AB＝AD，∴AB→2＝AD→2()OB→－OA→2＝()OD→－OA→2，化简得OB→2＋OA→2－2OA→·OB→＝OD→2＋OA→2－2OA→·OD→，又OB→＝－OD→，上式可化为：OA→·OB→－OA→·OD→＝OA→·()OB→－OD→＝OA→·DB→＝0.所以菱形的对角线互相垂直．一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行．设C地恰好在A地的南偏西60°，并且A、C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移．分析：物理学科中矢量及矢量的运算．解析：如右图所示，设A在东西基线和南北基线的交点处．向量方法在物理中的应用依题意，AB→的方向是北偏西60°，|AB→|＝1000km；AC→的方向是南偏西60°，|AC→|＝2000km，所以∠BAC＝60°.过点B作东西基线的垂线，交AC于点D，则△ABD为正三角形，所以BD＝AB＝CD＝1000km，∠CBD＝∠BCD＝12∠BDA＝30°.所以∠ABC＝90°.BC＝ACsin60°＝2000×32＝10003(km)，|BC→|＝10003km.所以，飞机从B地到C地的位移大小是10003km，方向是南偏西30°.跟踪训练3．人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度大小为()A．v1－v2B．v1＋v2C．|v1|－|v2|D.|v1||v2|C1．用力F推动一物体水平运动sm，设F与水平面角为θ，则对物体所做的功为()A．|F|·sB．Fcosθ·sC．Fsinθ·sD．|F|cosθ·s2．(2010年温州高一联考)河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为()A．10m/sB．12m/sC．46m/sD．226m/sDD1．用向量解决平面几何问题，往往是利用向量的平行四边形法则和三角形法则及坐标运算，结合平面图形的性质解题，解决的一般问题是平行、垂直的问题．2．平面向量为解决物理问题又提供了方法，解题时先将物理问题转化为数学问题再用向量知识解决，一般涉及力、位移、速度、加速度等量．