韦达定理习题汇编

一元二次方程根与系数的关系习题1、如果方程)0(02acbxax的两根是1x、2x，那么21xx=，21xx=。2、已知1x、2x是方程04322xx的两个根，那么：21xx=；21xx=；2111xx；2221xx；)1)(1(21xx；||21xx=。3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是。4、如果关于x的一元二次方程022axx的一个根是1－2，那么另一个根是，a的值为。5、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2，那么k=。6、已知方程2x2+mx－4=0两根的绝对值相等，则m=。7、一元二次方程px2+qx+r=0(p≠0)的两根为0和－1，则q∶p=。8、已知方程x2－mx+2=0的两根互为相反数，则m=。9、已知关于x的一元二次方程(a2－1)x2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a=。10、已知关于x的一元二次方程mx2－4x－6=0的两根为x1和x2，且21xx=－2，则m=，21xx=。11、已知方程3x2+x－1=0，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为。12、已知二次项系数为1的一元二次方程，它的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为。13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为。(其中二次项系数为1)14、已知关于x的一元二次方程x2－2(m－1)x+m2=0。若方程的两根互为倒数，则m=；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m=。15、已知方程x2+4x－2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α=；β=；m=。16、已知关于x的方程x2－3x+k=0的两根立方和为0，则k=17、已知关于x的方程x2－3mx+2(m－1)=0的两根为1x、2x，且43x1x121，则m=。18、关于x的方程2x2－3x+m=0，当时，方程有两个正数根；当m时，方程有一个正根，一个负根；当m时，方程有一个根为0。19、若方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根相同，则m=。20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x2+3x－2=0两根的二倍，则所求的方程为。21、一元二次方程2x2－3x+1=0的两根与x2－3x+2=0的两根之间的关系是。22、已知方程5x2+mx－10=0的一根是－5，求方程的另一根及m的值。23、已知2+3是x2－4x+k=0的一根，求另一根和k的值。24、不解方程，判断下列方程根的符号，如果两根异号，试确定是正根还是负根的绝对值大?0362)2(,053)1(22xxx25、已知1x和2x是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）321231xxxx（2）2221x1x1（3）22221)(xx（4）21xx（5）221122xxxx（6）52212251xxxx26、求一个一元二次方程，使它的两个根是2+6和2－6。27、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。28、方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17。29、已知关于x的方程2x2－(m－1)x+m+1=0的两根满足关系式1||21xx，求m的值及两个根。30、α、β是关于x的方程4x2－4mx+m2+4m=0的两个实根，并且满足10091)1)(1(，求m的值。31、已知一元二次方程8x2－(2m+1)x+m－7=0，根据下列条件，分别求出m的值：(1)两根互为倒数；(2)两根互为相反数；(3)有一根为零；(4)有一根为1；(5)两根的平方和为641。32、已知方程x2+mx+4=0和x2－(m－2)x－16=0有一个相同的根，求m的值及这个相同的根。33、已知关于x的二次方程x2－2(a－2)x+a2－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a的值。34、已知方程x2+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求b、c的值。35、设：3a2－6a－11=0，3b2－6b－11=0且a≠b，求a4－b4的值。36、已知一元二次方程(2k－3)x2+4kx+2k－5=0，且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求：当k取何整数时，方程有两个整数根。37、已知：α、β是关于x的方程x2+(m－2)x+1=0的两根，求(1+mα+α2)(1+mβ+β2)的值。38、已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。39、已知1x、2x是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根；1y、2y是关于y的方程y2+5my+7=0的两个实数根，且11yx=2,22yx=2，求m、n的值。40、关于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根，x2+2(a+m)x+2a－m2+6m－4=0有大于0且小于2的根。求a的整数值。41、关于x的一元二次方程3x2－(4m2－1)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根的倒数和，求m的值。42、已知：α、β是关于x的二次方程：(m－2)x2+2(m－4)x+m－4=0的两个不等实根。(1)若m为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；(2)若α2+β2=6时，求m的值。43、已知关于x的方程mx2－nx+2=0两根相等，方程x2－4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。求证：方程x2－(k+n)x+(k－m)=0一定有实数根。44、关于x的方程22n41mx2x=0，其中m、n分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。45、已知关于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有两个实根x1和x2(x1≠x2)，在数轴上，表示x2的点在表示x1的点的右边，且相距p+1，求p的值。46、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x的方程x2+(α+1)x+β2=0与x2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a、b、c的关系式。47、如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少?48、已知关于x的方程2x2+5x=m的一个根是－2，求它的另一个根及m的值。49、已知关于x的方程3x2－1=tx的一个根是－2，求它的另一个根及t的值。50、设x1，x2是方程3x2－2x－2=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)(x1－4)(x2－4)；(2)x13x24+x14x23；(3)12213131xxxx；(4)x13+x23。51、设x1，x2是方程2x2－4x+1=0的两个根，求｜x1－x2｜的值。52、已知方程x2+mx+12=0的两实根是x1和x2，方程x2－mx+n=0的两实根是x1+7和x2+7，求m和n的值。53、已知两数之和为－7，两数之积为12，求这两个数。54、已知方程2x2－3x－3=0的两个根分别为a，b，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是：(1)a+1.b+1(2)baab2,255、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm，面积为27cm2，求这个直角三角形斜边的长。56、在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么?57、已知x1，x2是方程2x2+3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1))32)(32(21xx；(2)321231xxxx。58、已知a2=1－a，b2=1－b，且a≠b，求(a－1)(b－1)的值。59、已知m2+m－4=0，04112nn，m，n为实数，且nm1，则nm1=。60、.设x1，x2是方程2x2－2x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)(x12+2)(x22+2)；(2)(2x1+1)(2x2+1)；(3)(x1－x2)2。61、.已知m，n是一元二次方程x2－2x－5=0的两个实数根，求2m2+3n2+2m的值。62、已知方程x2+5x－7=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程的两个根的负倒数。63、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之比为2∶1，求证：2b2=9ac。64、.已知关于x的一元二次方程x2+mx+12=0的两根之差为11，求m的值。65、已知关于y的方程y2－2ay－2a－4=0。(1)证明：不论a取何值，这个方程总有两个不相等的实数根；(2)a为何值时，方程的两根之差的平方等于16?66、已知一元二次方程x2－10x+21+a=0。(1)当a为何值时，方程有一正、一负两个根?(2)此方程会有两个负根吗?为什么?67、已知关于x的方程x2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。68、已知方程x2+ax+b=0的两根为x1，x2，且4x1+x2=0，又知根的判别式=25，求a，b的值。69、已知一元二次方程8y2－(m+1)y+m－5=0。(1)m为何值时，方程的一个根为零?(2)m为何值时，方程的两个根互为相反数?(3)证明：不存在实数m，使方程的两个相互为倒数。70、当m为何值时，方程3x2+2x+m－8=0：(1)有两个大于－2的根?(2)有一个根大于－2，另一个根小于－2?71、已知1x，2x是一元二次方程x2+nxm=0的两个实数根，且3)(2212221xxxx，5222221xx，求m和n的值。