第七-3章-非周期信号的傅里叶变换

1第7-3章非周期信号的傅里叶变换7-4非周期信号的频谱分析—傅立叶变换为周期，脉宽为，基频为，用指数形式傅立叶级数展开可得2T12T1221()TjntTnTFftedtT112121sin()12()22jntnEEEedtSanTTTn由上式可知，当变为非周期信号时，周期T趋于无穷大，此时趋于零，趋于无穷小，()Tft()ftnF17-4非周期信号的频谱分析—傅立叶变换•也就是说随着T的增大，谱线幅度越来越小，谱线也间隔越来越小。•当时，谱线幅度无穷小，离散的频谱将变成连续谱，这时无法用傅立叶级数展开对非周期信号进行频谱分析。•但是谱线幅度仍然具有相对大小的特性，为了分析非周期信号的频谱，下面引入傅立叶变换。3T4频谱密度函数简称频谱函数1T1T单位频带上的频谱值j)(tdtetfX111j21121()()dTntTFnftetT111111FnFnTFnTf1T当时，1110,()0fFnT111dnn，连续1Fnf有界函数lim111TFTFn1Tj()dlim111122TntTTftet5().ftF由求称为傅里叶变换j()()d()tFftetFftFj()()|()|FFe~:相位频谱~:F幅度频谱一般为复信号，故而可以表示为2．傅里叶的反变换6j()()11ntnftFne11除以，再乘以j()()1111ntnFnfte1,T当时由复指数形式的傅里叶级数()lim111TFTFn111()2limTFn()lim111TFn2F1d,1n12jdtftFe•当周期，周期信号演变成非周期信号,•谱线间隔，即离散谱变成连续谱，•原来的离散量演变成连续量。•离散求和运算变成连续积分运算，即7101nT()ft()()jtFftedt1()()2jtftFed式（1）（2）是一对傅立叶变换对，式（2）称为非周期信号的傅立叶正变换或称为频谱密度函数.（1）（2）()ft上式表明，非周期信号可以分解成无穷多个虚指数函数之和，指数分量的谐系数振幅是一个无穷小量——它占据了从到的整个频域。傅里叶正变换傅里叶反变换8()[()]FftF1()[()]ftFF也可表示为()()ftFjte()2Fd1()()2jtftFed7-4-2非周期信号的频谱非周期信号的傅立叶变换还可以写为：9()F()ft()()()(cossin)jtFftedtfttjtdt()cos()sinfttdtjfttdt()()cosRfttdt()()sinXfttdt()()()FRjX定义则显然，是一个复数，其实部是频率的偶函数，虚部是频率的奇函数。()R()F()X幅度频谱相位频谱1022()()()FRX()()arctan()XR幅模表示了信号的各频率分量的比例关系，称的关系为幅度频谱，如图(a)所示。()F()ft()~F幅角表示了信号的各频率分量的初相角，称的关系为相位频谱，如图（b）所示。()~()()ft2042(a)(b)FE2042根据信号的奇偶性，还可以写出频谱函数的特殊形式。–若是偶函数，则只含有实部，–若是奇函数，则只含有虚部11()ft()ft()ft()ft()F()R()X()ft()F()F另外，利用与的关系，还可以把写成()01()()211()cos[()]()sin[()]221()cos[()]21()cos[()]jjtftFeedFtdjFtdFtdFtd()F7-4-2非周期信号的频谱上式说明非周期信号也可以分解成无限多个，无穷小量不同频率的正弦信号之和。各频率分量的振幅为它占据了从0到的频率范围，从各分量的振幅总可以看出是单位频率上的幅度，所以频谱函数又称为频谱密度函数。12()F()2()FdFdf()F01()()cos[()]ftFdt7-4-3傅立叶变换存在的条件当信号在无限区间内满足绝对可积的条件时，则它的傅立叶变换存在，则这是傅立叶变换存在的充分条件，而不是必要条件，因为有些不满足绝对可积条件的信号，但当引入了冲激函数之后，就可以大大地扩展傅立叶变换的范围。13()F()()ft()ftdt7-5典型信号的傅立叶变换1单个门函数其幅度为E，宽度为，，则14()gt22E0g(t)t[()]()gtGF22()()jtjtGgtedtEedt单个门函数7-5典型信号的傅立叶变换表明单个门函数的傅立叶变换是一个抽样函数。当时，。取，的第一个零点的频率为，定义（或者）之间的频率范围称为信号宽度。15()2ESa(1,2,)2nn()02Sa1n()G2c0~c0~cfsin22E7-5典型信号的傅立叶变换上式表明，信号在时域中越窄，信号带宽越宽；反之，越大，带宽越窄。非周期信号是一个偶函数，其傅立叶变换是的实函数，所以频谱函数的幅度频谱和相位频谱可以画在同一个图上，如下图所示。16()gt()G()G()G()21ccf7-5典型信号的傅立叶变换当然，也可以分别画在两个图上，即幅度谱和相位谱。17GE2042()G()矩形脉冲信号的频谱图幅度谱相位谱GE204220427-5典型信号的傅立叶变换2单边e指数函数它的傅立叶变换为即可进一步表示为180A()[()]AatjtFfteedtajFAA()atetaj22A()arctan()()FFaa()A()(0)atfteta其中幅度频谱1922A()Fa相位频谱()arctanaF0A0227-5典型信号的傅立叶变换3单位冲激信号单位冲激信号的傅立叶变换20()t[()]()1jtttedtF即()1t()t(1)0[()]tF()t信号0()t的频谱函数1t7-5典型信号的傅立叶变换4直流信号–直流信号不满足绝对可积条件，所以不能用傅立叶积分式求其傅立叶变换。但是频谱函数引入冲激信号之后，这些信号的频谱存在。21()()ftE0EttftOtf1E222EjdlimtFEetjjlimteEjjjlimeeE2sinlimEsin2limESa()lim230EttfOE2F2EE5符号函数符号函数的定义式为241(0)sgn()1(0)ttt上式还可以用指数函数的极限来定义，如上图所示对上式取傅立叶变换得t11sgn()t0tete0sgn()lim[()()]atatatetet(0)a0000()lim()lim()atjtatjtaaFeedteedt即正负号函数及其频谱如图所示。7-5典型信号的傅立叶变换252()F002200000()lim()lim()112lim()atjtatjtaaaFeedteedtajajj2sgn()tj图7-277-5典型信号的傅立叶变换6单位阶跃信号单位阶跃信号同样不满足绝对可积条件，因此我们可以写成直流与负号函数的线性组合其傅立叶变换为（7-40）26()t11()sgn()22tt()[()]11[sgn()]221()FttjFF1()()tj即7-5典型信号的傅立叶变换阶跃信号及其频谱如图所示。27OF()()O227-6傅立叶变换的性质1线性傅里叶变换是一种线性运算，因此它的线性特性表示为若则上式表明，两个时间信号的线性组合，其频谱函数等于两个时间信号的频谱函数的线性组合。在线性时不变系统中，这个性质是显而易见的。281122()(),()()ftFftF1121122()()()()aftaftaFaF111()sgn()()22ttj例如：7-6傅立叶变换的性质2、共轭对称特性若则证明：29()()ftF，()()()ftFFj()()d()tftftetFFjj()()d()d()utftftetfueuFF根据定义，有()()ftF()()ftF30cosdRftttRRsindXftttXXFF为偶函数为奇函数()ftFFFj()()dcosdjsindtftftetftttftttF7-6傅立叶变换的性质31jj()()d()d()ttftftetftetFFjjjj()()d()d()d()d()ttttftftetftetftetftetFF3互易对称性若则在上一节中我们研究直流信号与冲激信号的频谱函数时，已经看到了这种对称性，如图所示即32()()ftF()2()Ftft0(A)ftFA0A()AttFtA002A2fA2A()证明：根据傅立叶反变换式，用-t置换式中的t，则变为再将上式中的与t互换，即用置换t，则上式变为或者写成331()()2jtftFed1()()2jtftFed1()()2jtfFtedt2()()jtfFtedt[()]2()ftfF7-6傅立叶变换的性质340E2F20t22ftE0t02E12Ft()ftF1()2Ftf002fE0202门函数与抽样函数的对称特性单个门函数抽样函数的对称性7-6傅立叶变换的性质对于偶函数有，，351()()2Ftf0,t0000001Sa2222Sa22EtEtfFtE所以通过对称性，我们可以求出函数的频谱函数，是一个矩形的频谱。0()SatSa222ftEttFE