习题第1章

第1章概率论的基本概念本章教学基本要求1、了解随机事件、频率、概率等基本概念及频率与概率的关系；2、理解事件间的基本关系及运算；3、掌握加法法则、条件概率和乘法法则、全概率公式和贝叶斯公式等的应用；4、掌握伯努利概型。1.1随机事件一主要知识归纳1、随机试验，随机事件，样本空间，基本事件，必然事件，不可能事件；2、事件的关系：包含、相等、互斥、对立；3、事件的运算：事件的补、积（交）、和（并）、差二基础练习1、对于任意事件,AB，下列式子中正确的是（）(A)ABAB(B)ABAA(C)ABABA(D)ABAAB2、设,,ABC是某个随机试验中的三个事件，则下列说法错误的是（）(A)事件“,,ABC中至少有一个发生”可表示为：ABC(B)事件“,,ABC同时发生”可表示为：ABC；(C)事件“,,ABC中恰好有一个不发生”可表示为：ABC；(D)事件“A与B同时发生，且C不发生”可表示为：ABC3、一批产品中随机抽两次，每次抽一件。以A表示事件“两次都抽得正品”，B表示事件“至少抽得一件次品”，则下列关系式中正确的是（）(A)AB(B)BA(C)AB(D)AB4、设A,B,C为随机事件,则事件“A,B,C都不发生”可表示为__________。5、设{|02)xx，1{|1}2Axx13{|}42Bxx，则AB_____________，AB_____________，AB______________。6、设某试验的样本空间{1,2,,10}，事件{3,4,5)A，{4,5,6}B，{6,7,8}C，则AB__________________，AB_________________，ABC____________________，()ABC=__________________。7、写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点的集合。（1）6件产品中有一件次品，事件A表示“从中任取2件有1件次品”；（2）将一枚均匀硬币掷两次，事件A为两次出现同一面，B为至少有一次出现正面；（3）在单位圆内任意投掷一点，该点落在左半圆内；（4）一口袋中有2个白球，3个黑球，4个红球，从中任取以求，事件A表示“得白球”，事件B表示“得黑球”。8、某人向一目标连射3枪，设iA表示“第i枪击中目标”（1,2,3i）,试用事件123,,AAA及事件的运算表示下列各事件（1）A表示“只有第一枪击中目标”；（2）B表示“只有一枪击中目标”；（3）C表示“至少有一枪击中目标”；（4）D表示“最多有一枪击中目标”；（5）F表示“第一枪，第三枪中至少有一枪击中目标”。9、指出下列等式命题是否成立，并说明理由。（1）()ABABB；（2）ABAB；（3）ABCABC；（4）()ABAB；（5）若BA，则ABA；（6）若,AB且AC则BC；（7）若BA，则AB；（8）AB，则ABA。10、化简下列各式。（1）()()ABAB（2）()()ABAB（3）()()ABAB11、证明：()AABBAB。1.2随机事件的概率一主要知识归纳1、频率，概率的公理化定义：非负性0)(AP，规范性1)(P，可列可加性；2、古典概型，几何概型；3、加法公式：()()()()PABPAPBPAB。二基础练习1、掷一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为32，将此硬币连掷4次，则恰好3次正面朝上的概率是()（A）818（B）278（C）8132（D）432、从0，1，…，9十个数字中随机地有放回地接连抽取四个数字，则“8”至少出现一次的概率为()（A）0.1（B）0.3439（C）0.4（D）0.65613、若事件A与B互不相容，且()0.3,()0.6PAPB，则()PAB（）（A）3.0（B）9.0（C）18.0（D）6.04、设,AB为随机事件，()0.5,PA()0.6,PB()0.2PAB，则()PAB____.5、设,,ABC为三个随机事件，1()()()4PAPBPC，()()()PABPACPBC16，()0PABC则()PABC___________。6、设，()0.3,()0.6PAPAB若AB，则()PB______。7、在一次读书活动中，某同学从2本科技书和4本文艺书中任选2本，则选中的书都是科技书的概率为__________。8、在全部产品中有90％的合格品.现从中依次抽取三件产品检查，则第三次才抽到不合格品的概率是______________.9、一批产品共有6件正品2件次品，从中任取2件，则两件都是正品的概率为_______。10、设CBA,,为3个事件，且41)()(BPAP，31)(CP且0)()(BCPABP，121)(ACP，求CBA,,至少有一个发生的概率。11、100人参加数理化考试，其结果是：数学10人不及格，物理9人不及格，化学8人不及格，数学、物理两科都不及格的有5人，数学、化学两科都不及格的有4人，物理、化学两科都不及格的有4人，三科都不及格的有2人，问全都及格的有多少人？12、一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率。13、设一批产品共有100件，其中合格品95件，次品5件，从中任取10件，求：（1）10件全是合格品的概率；（2）恰有2件次品的概率。7.从52张扑克牌中任意取13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？14、对一个5人学习小组考虑生日问题：（1）求5个人的生日都在星期日的概率；（2）求5个人的生日都不在星期日的概率（3）5个人的生日不都在星期日的概率。15、两人相约在某天下午2：00～3：00在预定的地方见面，先到者要等候20min，过时则离去。如果每人在制定的1h内任一时刻到达是等可能的，求约会的两人能会到的面的概率。1.3条件概率一主要知识归纳1、条件概率：)()()|(BPABPBAP；2、乘法公式：()()(|)PABPBPAB；3、全概率公式1()()(|)niiiPBPAPBA，贝叶斯公式1(|)()(|),()(|)iiinjjjPBAPAPABPAPBA1,2,,in，其中nAAA,,,21为样本空间的一个划分。二基础练习1、已知()0.8PA，()0.6PAB，则()PAB_________，(|)PBA_______。2、已知()0.7PA，()0.3PAB，则()PAB=_________。3、已知工厂,AB生产产品的次品率分别为5%和10%，现从由,AB的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，则该产品是次品的概率为______.4、若BA，且1()4PA，1()6PB，则(|)PBA______。5、设A，B为随机事件，且P(A)=0.8,P(B)=0.4,P(B|A)=0.25，则P(A|B)=____________.6、设AB，()0.1PA，试求()PAB，()PAB，()PAB，(|)PAB。8、一批同样规格的零件是由甲、乙、丙三个工厂生产的，三个工厂的产品数量分别是总量的20%，40%和40%，并且已知三个工厂的产品次品率分别为5%，4%，3%。今任取一个零件，问它是次品的概率是多少？9、甲、乙、丙三门高射炮向同一架敌机射击，设甲、乙、丙炮射中敌机的概率分别是0.4，0.5，0.7，又设若只有一门炮射中，敌机坠毁的概率为0.2；若有两门炮射中，敌机坠毁概率为0.6；若三门跑都射中，敌机必坠毁，试求敌机坠毁的概率。10、有枪8支，其中5支经过试射校正，3支未经过试射校正。校正过的枪击中靶的概率是0.8；未经过校正的枪击中靶的概率是0.3。今任取一支枪设计，结果击中了靶，问此枪为校正过的概率是多少？11、已知市场上出售的灯泡中，由甲厂生产的占70%，乙厂生产的占30%。甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%。今从市场上买了一个灯泡，求：（1）是甲厂生产的合格品的概率;（2）是乙厂生产的不合格品的概率。12、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.04；第二台出现废品的概率是0.01，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.现从这些零件中任取一个，（1）求该零件是废品的概率；（2）若检查后知该零件是废品，求它是第二台车床加工的概率。1.4事件独立性一主要知识归纳1、若()()(|)()()PABPAPBAPAPB，则,AB相互独立；2、n重伯努利概型。二基础练习1、设,AB为两事件，0()1PA，则下列命题中成立的是（）（A）,AB独立(|)(|)PBAPBA（B）,AB独立,AB互不相容（C）,AB独立AB（D）,AB独立()0PAB2.某人打靶的命中率为8.0，现独立地射击5次，那么5次射击中命中2次的概率为（）(A)2.08.02（B）28.0（C）4.08.02（D）22350.80.2C3、在某一随机试验中，事件A与B相互独立，且2.0)(,3.0)(BPAP则)(BAP。4、设()0.4PA，()0.7PAB，若,AB互不相容，则()PB________；若,AB相互独立，则()PB________。5、设随机事件A与B相互独立，()0.2PA，()0.8PB，则(|)PAB。6、设两两独立的三个随机事件A，B，C满足ABC=φ，且()()()PAPBPCx，则当x=时，3()4PABC。7、进行5重贝努利试验，事件A在每次试验中发生的概率()0.1PA，则在5次试验中A恰发生2次的概率为____________，A至少发生1次的概率为____________8、证明：若)|()|(BAPBAP，则BA,相互独立。9、设电路图如图1-9所示，其中1，2，3，4，5为继电器接点，设继电器接点闭合与否相互独立，且每一继电器闭合的概率为p，求L至R为通路的概率。10、设高射炮每次击中飞机的概率为0.2，问至少需要多少门这种高射炮同时独立发射（每门射一次）才能使击中分机的概率达到95%以上。11、加工某一零件需要经过四道工序，设第一、第二、第三、第四道工序的次品率分别为0.02，0.03，0.05，0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率。12、某宾馆大楼有6部电梯，各电梯正常运行的概率均为0.8，且各电梯是否正常运行相互独立.试计算：（1）所有电梯都正常运行的概率p1；（2）至少有一台电梯正常运行的概率p2；（3）恰有一台电梯因故障而停开的概率p3.本章小结本章知识点结构图随机现象随机试验样本点样本空间随机事件关系概率运算包含相等互斥对立逆(补)交(积)并(和)差概型定义性质公式古典概型几何概型伯努利概型加法公式乘法公式全概率公式贝叶斯公式综合练习一一、选择题（每小题3分，共24分）1、设A与B是任意两个互不相容事件，则下列结论中正确的是（）（A）()1()PAPB（B）()()PABPB（C）()()()PABPAPB（D）()()PABPA2、设,AB为两个随机事件，且BA，()0PB，则(|)PAB（）（A）1（B）()PA（C）()PB(D)()PAB3、同时掷3枚均匀硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率为（）（A）81（B）61（C）41（D）214、设111(),(),()236PAPBPAB，则事件A与B（）（A）相互独立（B）相等（C）互不相容（D）互为对立事件5、对一批次品率为(01)pp的产品逐一检测，则第二次才检测到次品的概率为（）（A）p（B）1p（C）(1)pp（D）(2)pp6、设{2,4,6,8}A，{1,2,3,4}B，则AB（）（A）{2，4}（B）{6，8}（C）{1，3}