高中数学基本不等式题型总结

专题基本不等式编者：高成龙第1页专题基本不等式【一】基础知识基本不等式：20,0ababab（1）基本不等式成立的条件：；（2）等号成立的条件：当且仅当时取等号.2.几个重要的不等式（1）24abab,abR；（2）+20,0ababab；【二】例题分析【模块1】“1”的巧妙替换【例1】已知0,0xy，且34xy，则41xy的最小值为.【变式1】已知0,0xy，且34xy，则4xxy的最小值为.【变式2】（2013年天津）设2,0abb，则1||2||aab的最小值为.【例2】（2012河西）已知正实数,ab满足211ab，则2ab的最小值为.【变式】已知正实数,ab满足211ab，则2abab的最小值为.专题基本不等式编者：高成龙第2页【例3】已知0,0xy，且280xyxy，则xy的最小值为.【例4】已知正数,xy满足21xy，则8xyxy的最小值为.【例5】已知0,0ab，若不等式212mabab总能成立，则实数m的最大值为.【例6】（2013年天津市第二次六校联考）已知直线21,0axbyab与圆221xy相交于,AB两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则2212ab的最小值为.专题基本不等式编者：高成龙第3页【例7】（2012年南开二模）若直线2200,0axbyab始终平分圆222410xyxy的周长，则11ab的最小值为.【例8】设12,ee分别为具有公共焦点12,FF的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足120PFPF，则22214ee的最小值为【例9】已知0,0,lg2lg4lg2xyxy，则11xy的最小值是（）A．6B．5C．322D．42【例10】已知函数4141xxfx，若120,0xx，且121fxfx，则12fxx的最小值为.专题基本不等式编者：高成龙第4页【模块二】“和”与“积”混合型【例1】（2012年天津）设,mnR,若直线:10lmxny与x轴相交于点A,与y轴相交于B，且l与圆224xy相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则AOB面积的最小值为.【例2】设,xyR，1,1ab，若2xyab，28ab，则11xy的最大值为_______.【例3】若实数,xy满足221xyxy，则xy的最大值为.【例4】（2013年南开一模）已知正实数,ab满足21abab，则ab的最小值为.专题基本不等式编者：高成龙第5页【例5】设,mnR，若直线1120mxny与圆22111xy相切，则mn的取值范围是（）（A）13,13（B）,1313,（C）222,222（D）,222222,【例6】已知1,1xy，且11ln,,ln44xy成等比数列，则xy的最小值为.【例7】（2015天津）已知0,0,8,abab则当a的值为时22loglog2ab取得最大值.【例8】（2011年天津）已知22loglog1ab，则39ab的最小值为.专题基本不等式编者：高成龙第6页【例9】下列说法正确的是（）A．函数xxy2的最小值为22B．函数)0(sin2sinxxxy的最小值为22C．函数xxy2的最小值为22D．函数xxylg2lg的最小值为22【例10】设,,5,33xyxyxyR且则的最小值是（）A．10B．63C．46D．183