二次函数图像对称变换前后系数的关系(专题)

二次函数图像对称变换前后系数的关系课时学习目标:1.能熟练根据二次函数的解析式的系数确定抛物线的开口方向，顶点坐标，和对称轴、最值和增减性区域。2.会根据二次函数的解析式画出函数的图像，并能从图像上描述出函数的一些性质。3.能说出抛物线y=ax2+bx+c，关于x轴、y轴对称变换后的解析式、关于坐标原点对称变换前后的解析式系数变化规律，能根据系数变化规律，熟练写出函数图像对称变换后解析式。学习重点：利用函数的图像，观察认识函数的性质，结合解析式，认识a、b、c、acb42的取值，对图像特征的影响。。学习难点：利用图像认识总结函数性质变化规律。一、复习预备1.抛物线5)4(22xy的顶点坐标是，对称轴是，在侧，即x_____时，y随着x的增大而增大；在侧，即x_____时,y随着x的增大而减小；当x=时，函数y最值是。2.抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标是，对称轴是，在侧，即x_____时，y随着x的增大而增大；在侧，即x_____时,y随着x的增大而减小；当x=时，函数y最值是____。3.已知函数y=x2-2x-3,(1)把它写成kmxay2)(的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？(2)写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值；(3)求出图象与坐标轴的交点坐标；(4)画出函数图象的草图；(5)设图像交x轴于A、B两点，交y轴于P点，求△APB的面积；(6)根据图象草图，说出x取哪些值时，①y=0;②y0;③y0.4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图—2所示，则：a0;b0;c0;acb420。例3：已知二次函数的图像如图—3所示，下列结论：(1)a+b+c﹤0，(2)a-b+c﹥0，(3)abc﹥0，(4)b=2a其中正确的结论的个数是（）A.1个，B.2个，C.3个，D.4个.二、归纳二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与系数a、b、c、acb42的关系系数的符号图像特征a的符号决定开口方向a0.抛物线开口向a0抛物线开口向a、b的符号决定对称轴方位ab0，同号抛物线对称轴在y轴的侧ab=0，b=0抛物线对称轴在ab0，异号抛物线对称轴在y轴的侧c的符号决定y轴交点方位c0.抛物线与y轴交于C=0抛物线与y轴交于c0抛物线与y轴交于acb42的符号决定与x轴交点个数acb420.抛物线与x轴有个交点acb42=0抛物线与x轴有个交点acb420抛物线与x轴有个交点三、二次函数图像对称变换前后系数的关系探究例1.某抛物线和函数y=-x2+2x-3的图象关于y轴成轴对称,请你求出该抛物线的关系式。例2.某抛物线和函数y=-x2+2x-3的图象关于x轴成轴对称,请你求出该抛物线的关系式。例3.某抛物线和函数y=-x2+2x-3的图象关于原点成中心对称，请你求出该抛物线的关系式。例4.某抛物线和函数y=-x2+2x-3的图象关于顶点坐标成轴对称,请你求出该抛物线的关系式。例5.某抛物线和函数y=-x2+2x-3的图象关于点（3,2）成中心对称,请你求出该抛物线的关系式。函数y=ax2+bx+c的图象对称变换后，解析式系数变化规律：变换形式图像关系系数关系原因关于轴x轴对称变换a系数a互为相反数开口方向相反b系数b互为相反数值不变，a、b同变c系数c互为相反数两交点关于x轴对称的点关于轴y轴对称变换a系数a不变开口方向相同b系数b互为相反数变号，a不变b变c系数c不变两交点重合关于原定中心对称变换a系数a互为相反数开口方向相反b系数b不变变号，a变号b不变c系数c互为相反数两交点关于x轴对称的点四、达标检测1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点A(a,b)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列条件不正确的是()A.a0,b0,c0B.b2-4ac0C.a+b+c0D.a-b+c03.二次函数y=6x2+7x-3的图象关于x轴对称的图象解析式为___________,关于y轴对称的图象解析式为________________,关于坐标原点对称的解析式___________________.a2ba2ba2b(1)(2)yxyx二次函数图象变换规律一、二次函数图象的平移变换（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成2()yaxhk的形式，确定其顶点(,)hk，然后做出二次函数2yax的图像，将抛物线2yax平移，使其顶点平移到(,)hk.具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”.二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；2.关于y轴对称2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；3.关于原点对称2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是2yaxhk；4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是2yaxhk．5.关于点mn，对称2yaxhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222yaxhmnk无论抛物线作何种对称变换，形状不变，a不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，先确定已知抛物线的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，再写出其对称抛物线的表达式．【习题分类】一、二次函数图象的平移变换1、函数23(2)1yx的图象可由函数23yx的图象平移得到，那么平移的步骤是：（）A.右移两个单位，下移一个单位B.右移两个单位，上移一个单位C.左移两个单位，下移一个单位D.左移两个单位，上移一个单位2、函数22(1)1yx的图象可由函数22(2)3yx的图象平移得到，那么平移的步骤是（）A.右移三个单位，下移四个单位B.右移三个单位，上移四个单位C.左移三个单位，下移四个单位D.左移四个单位，上移四个单位3、二次函数2241yxx的图象如何移动就得到22yx的图象（）A.向左移动1个单位，向上移动3个单位.B.向右移动1个单位，向上移动3个单位.C.向左移动1个单位，向下移动3个单位.D.向右移动1个单位，向下移动3个单位.4、将函数2yxx的图象向右平移0aa个单位，得到函数232yxx的图象，则a的值为（）A．1B．2C．3D．45、把抛物线2yaxbxc的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是235yxx，则abc________________．6、对于每个非零自然数n，抛物线221111nyxxnnnn与x轴交于nnAB、两点，以nnAB表示这两点间的距离，则112220092009ABABAB…的值是（）A．20092008B．20082009C．20102009D．200920107、把抛物线2yx向左平移1个单位，向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为()A．213yxB．213yxC．213yxD．213yx8、将抛物线22yx向下平移1个单位，得到的抛物线是（）A．221yxB．221yxC．221yxD．221yx9、将抛物线23yx向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（）A.232yxB.23yxC.23(2)yxD.232yx10、一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线224yxx，则平移前抛物线的解析式为________________．11、如图，ABCD中，4AB，点D的坐标是(0，8)，以点C为顶点的抛物线2yaxbxc经过x轴上的点A，B．⑴求点A，B，C的坐标．⑵若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．12、抛物线254yaxxa与x轴相交于点AB、，且过点54C，．⑴求a的值和该抛物线顶点P的坐标．⑵请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．DCBAO二、二次函数图象的对称变换1、函数2yx与2yx的图象关于______________对称，也可以认为2yx是函数2yx的图象绕__________旋转得到．2、已知二次函数221yxx，求：⑴关于x轴对称的二次函数解析式；⑵关于y轴对称的二次函数解析式；⑶关于原点对称的二次函数解析式．3、在平面直角坐标系中，先将抛物线22yxx关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A．22yxxB．22yxxC．22yxxD．22yxx4、已知二次函数2441yaxaxa的图象是1c．⑴求1c关于10R，成中心对称的图象2c的函数解析式；⑵设曲线12cc、与y轴的交点分别为AB，，当18AB时，求a的值．5、已知抛物线265yxx，求⑴关于y轴对称的抛物线的表达式；⑵关于x轴对称的抛物线的表达式；⑶关于原点对称的抛物线的表达式．6、设曲线C为函数20yaxbxca的图象，C关于y轴对称的曲线为1C，1C关于x轴对称的曲线为2C，则曲线2C的函数解析式为________________．7、对于任意两个二次函数：2211112222120yaxbxcyaxbxcaa，，当12aa时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有ABM，1010AB，，，，记过三点的二次函数抛物线为“C”（“□□□”中填写相应三个点的字母）．图3图2图1yxOABMyxOABMMNBAOxy⑴若已知01M，，ABMABN≌（图1），请通过计算判断ABMC与ABNC是否为全等抛物线；⑵在图2中，以ABM、、三点为顶点，画出平行四边形．①若已知0Mn，，求抛物线ABMC的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与ABMC全等的抛物线解析式．②若已知Mmn，，当mn、满足什么条件时，存在抛物线ABMC？根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与ABMC全等的抛物线．若存在，请写出所有满足条件的抛物线“C”；若不存在，请说明理由．8、已知：抛物线2:(2)5fyx．试写出把抛物线f向左平行移动2个单位后，所得的新抛物线1f的解析式；以及f关于x轴对称的曲线2f的解析式．画出1f和2f的略图，并求：⑴x的值什么范围，抛物线1f和2f都是下降的；⑵x的值在什么范围，曲线1f和2f围成一个封闭图形；⑶求在1f和2f围成封闭图形上，平行于y轴的线段的长度的最大值．二次函数图形变换综合压轴题1、在平面直角坐标系xoy中，抛物线322mxmxy（m≠0）与x轴交于A（3,0），B两点.（1）求抛物线的表达式及点B的坐标.（2）当-2＜x＜3时的函数图像记为G，求此时函数y的取值范围.（3）在（2）的条件下，将图像G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图像G的其余部分保持不变，得到一个新图像M.若经点C(4,2)的直线y=kx+b（k≠0）与图像M在第三象限内有两个公共过点，结合图像求b的取值范围.2、已知关于x的一元二次方程0132kxx有实数根，k为正整数.（1）求k的值；（2）当